Ki-kare dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (x2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

ki-kare
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler serbestlik derecesi
Destek
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama
Medyan yaklaşık olarak
Mod eğer
Varyans
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf) eğer
Karakteristik fonksiyon

Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.

x, ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

olur.

Burada ve alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve ile gösterilir.

x, serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:

ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir olur.

Teorem 1

ise olur.

Teorem 2

rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.

ise olur.

Teorem 3

varyansı bilinen, dağılımına sahip rastgele örneklem ve örneklem varyansı olmak üzere:
olur.

Karakteristikleri

değiştir

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

değiştir

Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:

 

Burada   bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

değiştir

Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

 

burada   aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve   ise tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur.

Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.

Karakteristik fonksiyonu

değiştir

Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:

 

Özellikleri

değiştir
  • Ki-kare dağılımı cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans değeri güvenlik aralığı ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsallık tablosu üzerinde bağımsızlık testi ve ki-kareye bağlı ortaklılık katsayıları, uzaklık ölçüleri vb.
  • Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dağılımının oranından ortaya çıkması dolayışıyla önemli rol oynamaktadır.

Normal yaklaşım

değiştir

Eğer   ise, limitte   sonsuzluğa yaklaştıkça   normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık   ve basıklık fazlalığı   olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:

Fisher ispat etmiştir ki   ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması   olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.

Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılaştırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken  in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir:

 

ve

 

Burada   bir Gamma fonksiyonudur.   ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir:[1]

 

  olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:  

Sonra basitleşen moment karşılaştırılması sonuçları şu yaklaşık   dağılımı verirler;

 ,

Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:

 .

Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki   ifadesi, ortalaması   ve varyansı   olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.

  serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer   olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:

 

Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.

Enformasyon entropisi

değiştir

Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir:

 

Burada   bir Digamma fonksiyonudur.

İlişkili dağılımlar

değiştir
  • Serbestlik derecesi 2ye eşit olan   için   bir üstel dağılım olur.
  • Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan   değişkenleri için   ise,   bir ki-kare dağılımı gösterir.
  • Eğer   dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde   bir merkezsel olmayan ki-kare dağılımndan çıkartılmıştır.
  •   olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı   bir gamma dağılımının özel halidir.
  • Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile   ve   birbirinden bağımsız iken   ise,   bir F-dağılımı gösterir.
  •   ifadesi için   değişkenleri bağımsız ve   ise, o halde   ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
  • Eğer   ki-kare dağılımı gösterirse, o halde   ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
  • Özellikle, eğer   (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde   ifadesi Rayleigh dağılımı gösterir.
  • Eğer   bağımsiz ama aynı dağılımlı, yani hepsi   normal dağılım gösteren, rassal değişkenlerse, o halde
 

olur; burada   dir.

  • Eğer  , ise, o halde   olur.
Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları
İsim İstatistik
Ki-kare dağılımı  
Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı  
Ki dağılımı  
Merkezsel olmayan ki dağılımı  

Ki kare kritik değerler tablosu

değiştir

g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2 kritik değeri

+-----+-----------------------------------------------------------------------+
| \  α|                                                                       |
|  \  | 0.995  0.91   0.925  0.95   0.90   0.10   0.05   0.025  0.01   0.005  |
|g  \ |                                                                       |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
|  1  |  0.00   0.00   0.00   0.00   0.02   2.71   3.84   5.02   6.63   7.88  |
|  2  |  0.01   0.02   0.05   0.10   0.21   4.61   5.99   7.38   9.21  10.60  |
|  3  |  0.07   0.11   0.22   0.35   0.58   6.25   7.81   9.35  11.34  12.84  |
|  4  |  0.21   0.30   0.48   0.71   1.06   7.78   9.49  11.14  13.28  14.86  |
|  5  |  0.41   0.55   0.83   1.15   1.61   9.24  11.07  12.83  15.09  16.75  |
|  6  |  0.68   0.87   1.24   1.64   2.20  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  |
|  7  |  0.99   1.24   1.69   2.17   2.83  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  |
|  8  |  1.34   1.65   2.18   2.73   3.49  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  |
|  9  |  1.73   2.09   2.70   3.33   4.17  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  |
| 10  |  2.16   2.56   3.25   3.94   4.87  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  |
| 11  |  2.60   3.05   3.82   4.57   5.58  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  |
| 12  |  3.07   3.57   4.40   5.23   6.30  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  |
| 13  |  3.57   4.11   5.01   5.89   7.04  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  |
| 14  |  4.07   4.66   5.63   6.57   7.79  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  |
| 15  |  4.60   5.23   6.26   7.26   8.55  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  |
| 16  |  5.14   5.81   6.91   7.96   9.31  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  |
| 17  |  5.70   6.41   7.56   8.67  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  |
| 18  |  6.26   7.01   8.23   9.39  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  |
| 19  |  6.84   7.63   8.91  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  |
| 20  |  7.43   8.26   9.59  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  |
| 21  |  8.03   8.90  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  |
| 22  |  8.64   9.54  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  |
| 23  |  9.26  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  |
| 24  |  9.89  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  |
| 25  | 10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  |
| 26  | 11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  |
| 27  | 11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  |
| 28  | 12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  |
| 29  | 13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  |
| 30  | 13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+

Kaynak: Kritik değerler İtalyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq(,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.

Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.

χ²α,g = 1/2 ( zα + √(2g-1) )²

Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.)

Ayrıca bakınız

değiştir

Kaynakça

değiştir
  1. ^ "Arşivlenmiş kopya" (PDF). 15 Ekim 2008 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Nisan 2008. 

Dış bağlantılar

değiştir

Yale University Stats 101 kodlu ders için ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.


  翻译: