Сярэдняе квадратовае адхіленне

Сярэдняе квадратовае адхіленне (або станда́ртнае адхіле́нне) — у тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыцы найбольш распаўсюджаны паказнік рассейвання значэнняў выпадковай велічыні адносна яе матэматычнага спадзявання.

У статыстыцы сярэдняе квадратовае адхіленне велічынь x₁, x₂, …, x_n ад велічыні a вызначаецца як

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a\right)^{2}}}.$

Найменшае значэнне квадратовае адхіленне мае, калі a роўнае сярэдняму арыфметычнаму x₁, x₂, …, x_n:

$a={\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.$

У гэтым выпадку квадратовае адхіленне служыць паказчыкам рассеянасці мноства значэнняў.

У тэорыі імавернасцей, сярэднім квадратовым адхіленнем (або стандартным адхіленнем) выпадковай велічыні называецца квадратны корань з яе дысперсіі:

$\sigma [X]={\sqrt {D[X]}}.$

На практыцы сярэдняе квадратовае адхіленне дазваляе ацаніць, наколькі значэнні ў мностве могуць адрознівацца ад сярэдняга значэння.

Асноўныя звесткі

Квадратовае адхіленне вымяраецца ў адзінках вымярэння самой выпадковай велічыні і выкарыстоўваецца пры разліку стандартнай памылкі сярэдняга арыфметычнага, пры пабудове давяральных інтэрвалаў, пры статыстычнай праверцы гіпотэз, пры вымярэнні лінейнай узаемасувязі паміж выпадковымі велічынямі. Для выпадковай велічыні сярэдняе квадратовае адхіленне вызначаецца як квадратны корань з дысперсіі выпадковай велічыні.

Сярэдняе квадратовае адхіленне (для выбаркі):

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.$

Статыстычнае стандартнае адхіленне — ацэнка сярэдняга квадратовага адхілення выпадковай велічыні x адносна яе матэматычнага спадзявання на аснове нязрушанай ацэнкі яе дысперсіі:

$s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\sigma ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},$

дзе $\sigma ^{2}$ — дысперсія; $x_{i}$ — i-ы элемент выбаркі; $n$ — аб’ём выбаркі; ${\bar {x}}$ — сярэдняе арыфметычнае выбаркі:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\ldots +x_{n}).$

Варта адзначыць, што абедзве ацэнкі з’яўляюцца зрушанымі. У агульным выпадку нязрушаную ацэнку пабудаваць немагчыма. Але ацэнка на аснове ацэнкі нязрушанай дысперсіі з’яўляецца слушнаю.

Правіла трох сігм

Графік шчыльнасці імавернасці нармальнага размеркавання і працэнт пападання выпадковай велічыні на адрэзкі, роўныя сярэдняму квадратоваму адхіленню.

Правіла трох сігм (3σ) — практычна ўсе значэнні нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжаць у прамежку $\left({\bar {x}}-3\sigma ;{\bar {x}}+3\sigma \right)$. Больш строга — прыблізна з 99,73%-най імавернасцю значэнне нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжыць у згаданым прамежку (пры ўмове, што велічыня ${\bar {x}}$ сапраўдная, а не атрыманая ў выніку апрацоўкі выбаркі).

Калі ж сапраўдная велічыня ${\bar {x}}$ невядома, то трэба карыстацца не $\sigma$, а s. Такім чынам, правіла трох сігм ператвараецца ў правіла трох s.

Тлумачэнне велічыні квадратовага адхілення

Вялікае значэнне квадратовага адхілення паказвае вялікі роскід значэнняў у мностве адносна сярэдняга значэння; маленькае значэнне, адпаведна, паказвае, што значэнні ў мностве групуюцца вакол сярэдняга значэння.

У агульным сэнсе квадратовае адхіленне можна лічыць мераю нявызначанасці. Напрыклад, у фізіцы квадратовае адхіленне прымяняецца для вызначэння хібнасці паслядоўнасці вымярэнняў якой-небудзь велічыні.

Гл. таксама

• Дысперсія выпадковай велічыні
• Генеральная сукупнасць
• Выбарка
• Варыяцыя
• Абсалютнае адхіленне

Літаратура

• Квадратичное отклонение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 2.
• Вентцель Е. С. Глава 14. Обработка опытов // Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
• Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Standard Deviation (нявызн.). MathWorld.