Wie vergleicht man den Spektralradius und die Operatornorm eines beschränkten linearen Operators?

1 Spektraler Radius

Der Spektralradius eines beschränkten linearen Operators A ist das Supremum der Absolutwerte seiner Eigenwerte. Mit anderen Worten, es ist die größte Größe eines Eigenwerts von A. Die Eigenwerte von A sind die komplexen Zahlen λ, so dass es einen Vektor x ungleich Null gibt, der Ax = λx erfüllt. Der Spektralradius von A wird mit ρ(A) bezeichnet und ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Wenn A beispielsweise die 2x2-Matrix [1 2; 0 1] ist, dann sind ihre Eigenwerte 1 und 1 und ihr Spektralradius ρ(A) = 1.

2 Norm des Betreibers

Die Operatornorm eines beschränkten linearen Operators A ist die kleinste Zahl M, so dass die Ungleichung ||Ax|| ≤ M||x|| gilt für alle Vektoren x im Definitionsbereich von A. Hier ||x|| bezeichnet die Norm von x, die ein Maß für seine Länge oder Größe ist. Die Operatornorm von A wird auch mit ||A|| Und es ist immer eine positive reelle Zahl. Wenn zum Beispiel A die gleiche 2x2-Matrix wie zuvor ist, dann ist seine Operatornorm ||A|| = √5, was der größte singuläre Wert von A ist.

3 Vergleich von Spektralradius und Betreibernorm

Eines der grundlegenden Ergebnisse der Spektraltheorie ist, dass der Spektralradius eines beschränkten linearen Operators immer kleiner oder gleich seiner Operatornorm ist. Das heißt, ρ(A) ≤ ||A|| für jedes A. Dies kann mit Hilfe der Gelfand-Formel bewiesen werden, die besagt, dass ρ(A) gleich dem Grenzwert von ||A^n||^(1/n) da n ins Unendliche geht. Da ||A^n|| ≤ ||A||^n für jedes n folgt, dass ρ(A) ≤ ||A||. Die Gleichheit ρ(A) = ||A|| gilt genau dann, wenn A normal ist, was bedeutet, dass es mit seinem adjungierten A* pendelt. Wenn zum Beispiel A eine diagonale Matrix ist, dann ist sie normal und ρ(A) = ||A||.

4 Anwendungen von Spektralradius und Betreibernorm

Der Spektralradius und die Operatornorm eines beschränkten linearen Operators können verwendet werden, um verschiedene Aspekte seines Verhaltens und seiner Leistung zu untersuchen. Zum Beispiel kann der Spektralradius verwendet werden, um die Konvergenz von Potenzreihen zu bestimmen, an denen Operatoren beteiligt sind, wie z. B. die Exponentialfunktion e^A oder das Lösungsmittel (I - A)^(-1). Die Operatornorm kann verwendet werden, um die Empfindlichkeit der Ausgabe eines Operators gegenüber der Eingabe oder die Stabilität eines dynamischen Systems, das von einem Operator gesteuert wird, zu messen. Wenn z.B. A die Übergangsmatrix einer Markov-Kette ist, dann ||A|| ≤ 1 und ρ(A) = 1 genau dann, wenn die Kette ergodisch ist.

5 Weiterführende Literatur

Die Spektraltheorie der Operatoren ist ein unglaublich interessantes und komplexes Thema mit vielen Verbindungen und Anwendungen in der Mathematik und darüber hinaus. Wenn Sie mehr darüber erfahren möchten, sollten Sie Bücher wie Einführung in die Funktionalanalysis mit Anwendungen von Kreyszig, Störungstheorie für lineare Operatoren von Kato, Methoden der modernen mathematischen Physik I: Funktionalanalysis von Reed und Simon oder Partielle Differentialgleichungen I: Grundtheorie von Taylor in Betracht ziehen.