La historia del Método de los Elementos Finitos (MEF) se remonta a principios del siglo XX, aunque sus raíces pueden rastrearse hasta los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales parciales desarrollados por matemáticos como Richard Courant y Raymond D. Mindlin. En la década de 1940, Courant utilizó técnicas de discretización para resolver problemas de torsión, sentando las bases teóricas para lo que más tarde se conocería como el MEF. Sin embargo, el desarrollo formal del MEF comenzó en la década de 1950 con los trabajos pioneros de ingenieros aeronáuticos como Jon Turner y Ray W. Clough. Turner y sus colegas en la Boeing Company donde desarrollaron el concepto de elementos finitos para analizar estructuras aeronáuticas, mientras que Clough acuñó el término "Finite Element Method" en su influyente artículo de 1956.
Fig. 1 A la izquierda portada del paper “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures” publicado en el Journal Of The Aeronautical Science. Y a la derecha la fotografía del ingeniero civil Ray William Clough uno de los fundadores del MEF.
Durante las décadas de 1960 y 1970, el MEF experimentó una rápida expansión y popularización. Ingenieros y matemáticos comenzaron a aplicar el método a una variedad de problemas de ingeniería civil, mecánica y aeroespacial. El desarrollo de computadoras más potentes y el surgimiento de software especializado permitieron realizar cálculos complejos con mayor eficiencia. Entre los avances significativos de esta época se encuentran las contribuciones de O. C. Zienkiewicz y R. L. Taylor, quienes publicaron trabajos fundamentales que establecieron las bases matemáticas del MEF y su aplicación a problemas prácticos. Su libro "The Finite Element Method" se convirtió en una referencia esencial para ingenieros y científicos de todo el mundo.
Fig. 2 De izquierda a derecha: Portada del libro “The Finite Element Method”. Fotografía del ingeniero civil Olgierd Zienkiewicz seguido del ingeniero civil Robert L. Taylor
En las décadas de 1980 y 1990, el MEF continuó evolucionando y diversificándose. Se desarrollaron nuevos tipos de elementos y técnicas de discretización, lo que permitió su aplicación a problemas más complejos y no lineales. Además, la integración del MEF con otras técnicas numéricas, como los métodos de frontera y los métodos espectrales, amplió aún más su alcance y capacidad.
En los últimos años, el MEF ha continuado avanzando con la incorporación de técnicas avanzadas de modelado, como el análisis multiescala, los métodos de elementos discretos y la simulación acoplada de múltiples físicas. El continuo avance en los recursos computacionales y el desarrollo de algoritmos más eficientes han permitido enfrentar desafíos de una escala y complejidad sin precedentes. En las secciones siguientes, se explorará en detalle el método MEF y su impacto transformador en la ingeniería y las ciencias aplicadas.
Conceptos básicos del MEF
El MEF se basa en la subdivisión de un dominio complejo en subdominios más pequeños y manejables llamados elementos finitos. Estos elementos, que pueden ser de diversas formas geométricas (triángulos, cuadriláteros, tetraedros, etc.), se conectan entre sí en puntos conocidos como nodos. Cada nodo tiene grados de libertad que representan las variables del problema, como desplazamientos, temperaturas, presiones, etc.
Discretización del Dominio: La discretización es el proceso de dividir el dominio continuo de un problema en una malla de elementos finitos. Esta malla puede ser estructurada (con elementos de forma regular) o no estructurada (con elementos de forma irregular), dependiendo de la geometría del dominio y la naturaleza del problema. Por ejemplo, en el análisis de una viga, la viga se puede dividir en una serie de segmentos más pequeños (elementos) conectados en puntos (nodos). Cada nodo puede tener uno o varios grados de libertad, como desplazamientos verticales y rotaciones.
Fig. 3 Discretización de modelos estructurales en elementos finitos. Tomado de «(Oñate, E. 2009)»
Formulación de Ecuaciones Elementales: Para cada elemento finito, se derivan las ecuaciones que describen su comportamiento mediante principios físicos y matemáticos. Estas ecuaciones se suelen expresar en términos de una matriz de rigidez (para problemas estructurales) o una matriz de conductividad térmica (para problemas de transferencia de calor). La formulación típica implica el uso de funciones de forma, que son funciones matemáticas que interpolan los valores de las variables del problema entre los nodos de un elemento. Estas funciones permiten aproximar las soluciones dentro de cada elemento en función de los valores nodales.
Ensamblaje del Sistema Global de Ecuaciones: Las ecuaciones elementales se ensamblan en un sistema global de ecuaciones que representa el comportamiento del conjunto del dominio discretizado. Este ensamblaje se realiza sumando las contribuciones de todos los elementos que comparten nodos comunes. El resultado es un sistema de ecuaciones lineales de la forma: 𝐊𝐮 = 𝐟 donde 𝐊 es la matriz global de rigidez, 𝐮 es el vector de desplazamientos nodales desconocidos, y 𝐟 es el vector de fuerzas nodales aplicadas.
Fig. 4 Contribuciones a la matriz de rigidez global. Tomado de «(Oñate, E. 2009)»
Aplicación de Condiciones de Contorno: Las condiciones de contorno especifican los valores de las variables del problema en los límites del dominio. Estas condiciones pueden ser de tipo Dirichlet (valores fijos de las variables) o Neumann (valores fijos de las derivadas de las variables). En el caso de la viga, podríamos tener condiciones de contorno que especifican que los extremos de la viga están fijos(desplazamientos y rotaciones cero) o que una fuerza específica actúa en un punto de la viga.
Resolución del Sistema de Ecuaciones: El sistema global de ecuaciones se resuelve utilizando métodos numéricos para obtener las variables del problema en los nodos. Los métodos más comunes incluyen la eliminación de Gauss, la descomposición LU y los métodos iterativos como el método de Jacobi o el método de Gauss-Seidel.
Fig. 5 Diagrama de flujo para calcular f(e) para fuerzas corporales. Tomado de «(Oñate, E. 2009)»
Postprocesamiento de Resultados: Una vez resuelto el sistema, los resultados se interpretan para evaluar las variables de interés. Esto puede incluir la visualización de desplazamientos, esfuerzos, temperaturas, etc., utilizando herramientas de postprocesamiento gráfico.
Fig. 6 Túnel subterráneo. a) Malla de cuadriláteros Serendipity de 8 nodos, b) Detalle de la malla, c) Contornos de desplazamiento total para la carga de peso propio más el peso de los edificios adyacentes, d) Detalle de contornos de esfuerzos principales menores. Tomado de «(Oñate, E. 2009)»
Aplicaciones del MEF
El MEF se utiliza en una amplia variedad de campos, permitiendo resolver problemas que involucran diferentes fenómenos físicos. A continuación, se presentan algunas de las aplicaciones más importantes del MEF en detalle:
Análisis Estructural: El análisis estructural representa una de las aplicaciones más extendidas del MEF. Este método se emplea para determinar la respuesta de estructuras sometidas a diversas cargas y condiciones. En el sector de la construcción, el MEF se usa para analizar la distribución de esfuerzos y deformaciones en estructuras de edificios y puentes, tomando en cuenta cargas muertas, vivas, de viento y sismos. Esto facilita la evaluación de la resistencia y estabilidad de las estructuras, permitiendo identificar posibles puntos críticos y optimizar su diseño. En la industria aeroespacial, es crucial para el análisis de alas, fuselajes y otros componentes de aeronaves, asegurando su capacidad para soportar las cargas aerodinámicas durante el vuelo y aterrizaje, además de evaluar aspectos como la fatiga del material y las vibraciones. En la ingeniería automotriz y de maquinaria pesada, el MEF se utiliza para examinar chasis, suspensiones y componentes estructurales, garantizando que cumplan con los requisitos de resistencia y durabilidad bajo diversas condiciones operativas.
Fig. 7 Macromodelado detallado en 3D de una columna de concreto armado usando elementos finitos. Tomado de «( Asdea Software Technology)»
Transferencia de Calor: El MEF es una herramienta vital para resolver problemas de transferencia de calor en sólidos y fluidos. Por ejemplo, en el diseño de intercambiadores de calor, permite analizar la distribución de temperatura y los gradientes térmicos, optimizando su diseño para mejorar la eficiencia térmica y minimizar las pérdidas de energía. En la industria metalúrgica, se utiliza para simular los procesos de fundición y soldadura, prediciendo la distribución de temperatura y las tensiones térmicas que pueden generar defectos en el material. Además, se aplica en el diseño y análisis de sistemas de refrigeración y calefacción, asegurando una distribución uniforme de la temperatura y la eficiencia energética del sistema.
Fig. 8 Temperatura que varía con el tiempo en un disipador de calor LED durante el calentamiento. Tomado de «(Quadco Enigeering)»
Dinámica de Fluidos (Computational Fluid Dynamics: “CFD”): La CFD se beneficia enormemente del MEF, permitiendo el análisis de flujos complejos en diversas aplicaciones. En el sector aeronáutico y automotriz, se utiliza para simular el flujo de aire alrededor de aeronaves y vehículos, evaluando la aerodinámica, la resistencia al avance y el comportamiento en diferentes condiciones de vuelo o conducción. En ingeniería hidráulica, se aplica para analizar el flujo de agua en canales, tuberías y presas. También se usa en el sector energético para simular el flujo en turbinas y sistemas de energía eólica y marítima. Además, permite simular el flujo de fluidos en procesos industriales, como el mezclado de líquidos en reactores químicos, el flujo de gases en sistemas de ventilación y la distribución de fluidos en sistemas de tuberías complejas.
Fig. 9 Análisis de dinámica de fluidos computacional. Tomado de «(Solenoid Systems)»
Electromagnetismo: El MEF también se aplica en el análisis de campos electromagnéticos para diversas aplicaciones. Se utiliza para analizar el comportamiento electromagnético de dispositivos electrónicos, como antenas, sensores y circuitos impresos, optimizando su diseño para mejorar la eficiencia y minimizar la interferencia. En la ingeniería eléctrica, permite modelar y analizar la distribución de campos eléctricos y magnéticos en sistemas de generación, transmisión y distribución de energía, asegurando el funcionamiento seguro y eficiente de los equipos. Además, ayuda a evaluar y mitigar los problemas de compatibilidad electromagnética en dispositivos y sistemas electrónicos, reduciendo la interferencia y mejorando la confiabilidad del producto.
Fig. 10 Simulación de elementos finitos del campo electromagnético para automóviles. Tomado de «(Entekmograte)»
Biomecánica: En el campo de la biomecánica, el MEF se utiliza para estudiar el comportamiento de tejidos y estructuras biológicas. Permite diseñar y optimizar prótesis y órtesis, analizando la distribución de esfuerzos y deformaciones en el material y en los puntos de contacto con el cuerpo humano, mejorando la comodidad y funcionalidad. También se aplica en el diseño de implantes ortopédicos y dentales, asegurando que los materiales y geometrías utilizadas sean compatibles con las condiciones biomecánicas del cuerpo humano. Además, se utiliza para estudiar la mecánica de tejidos biológicos, como huesos, músculos y arterias, facilitando la comprensión de las lesiones y el desarrollo de tratamientos más efectivos.
Fig. 11 Simulación biomecánica de patada en el pecho. Tomado de «(ANSYS)»
Ventajas del MEF
Flexibilidad Geométrica: El MEF destaca por su capacidad para modelar dominios con geometrías arbitrarias y complejas, lo cual es de gran utilidad en ingeniería y arquitectura donde las estructuras pueden presentar formas irregulares y complejas. La malla de elementos finitos es altamente adaptable y puede ajustarse fácilmente para adaptarse a cambios en el diseño del modelo. Esta flexibilidad es fundamental en los procesos iterativos de diseño y optimización, permitiendo modificaciones continuas sin comprometer la integridad del modelo analizado.
Adaptabilidad y Refinamiento: Una de las características más destacadas del MEF es su capacidad para refinar la malla en áreas específicas del dominio que requieren una mayor atención, como zonas donde se concentran los esfuerzos o donde existen gradientes térmicos significativos. Esto permite mejorar la precisión de los resultados sin incrementar de manera innecesaria el costo computacional para todo el dominio. La capacidad de variar el tamaño y la forma de los elementos dentro de la misma malla añade una capa adicional de flexibilidad y eficiencia en la representación del dominio estudiado.
Versatilidad en Aplicaciones: El MEF es aplicable a una vasta gama de problemas en diversas áreas, tales como mecánica estructural, transferencia de calor, dinámica de fluidos, electromagnetismo y acústica. Esta versatilidad lo hace especialmente valioso para abordar problemas no lineales que incluyen grandes deformaciones, plasticidad, contacto entre superficies y fracturas. Estas características son esenciales para el análisis detallado de materiales y estructuras sometidos a condiciones extremas y desafiantes.
Precisión y Convergencia: La precisión del MEF puede controlarse eficazmente mediante el refinamiento de la malla y la elección de funciones de interpolación adecuadas para los elementos utilizados. Este enfoque metodológico garantiza la convergencia de la solución hacia el valor exacto conforme la malla se refina, siempre y cuando se utilicen elementos adecuados y se sigan las mejores prácticas de modelado. Esto asegura resultados confiables y precisos, fundamentales para la toma de decisiones en el diseño y análisis de ingeniería.
Limitaciones del MEF
Requerimientos Computacionales: El análisis mediante MEF puede ser intensivo en términos de memoria y tiempo de procesamiento, especialmente cuando se manejan modelos grandes y complejos. Esta demanda puede necesitar el uso de supercomputadoras o clusters de alto rendimiento para manejar adecuadamente las cargas de cálculo y almacenamiento de datos.
Dependencia de la Calidad de la Malla: La calidad de la malla tiene un impacto significativo en la precisión y estabilidad de los resultados obtenidos mediante MEF. Una malla inadecuadamente definida puede resultar en resultados inexactos o incluso en la no convergencia del modelo. El desarrollo de mallas adecuadas para geometrías complejas es un proceso que puede ser complicado y laborioso, requiriendo experiencia significativa y el uso de herramientas de software avanzadas.
Experiencia y Conocimientos Requeridos: La implementación efectiva del MEF exige un alto nivel de conocimiento y experiencia. Esto incluye una sólida comprensión de los principios físicos, matemáticos y numéricos subyacentes. Además, la elección correcta de modelos constitutivos, parámetros de materiales y funciones de interpolación es crítica, ya que pueden afectar significativamente la calidad de los resultados. Esta necesidad subraya la importancia de contar con un juicio experto y un conocimiento profundo del problema específico a resolver.
Problemas Específicos y Limitaciones Intrínsecas: En aplicaciones como la dinámica estructural y la acústica de alta frecuencia, el MEF puede requerir un refinamiento excesivo de la malla, lo que aumenta el costo computacional del análisis. Además, el MEF puede enfrentar dificultades en problemas multiescala, donde los fenómenos relevantes se manifiestan en varias escalas de tiempo y longitud. En estos casos, puede ser necesario integrar el MEF con otros métodos numéricos para lograr resultados precisos y fiables.
Conclusiones
El Método de los Elementos Finitos (MEF) ha emergido como una herramienta esencial y versátil para enfrentar problemas complejos en el campo de la ingeniería y las ciencias aplicadas. Su habilidad para modelar dominios con geometrías arbitrarias y su aplicabilidad en una amplia gama de disciplinas han propiciado avances significativos en el diseño y análisis de estructuras, sistemas térmicos, dinámicos y electromagnéticos. El MEF ha transformado la ingeniería moderna al proporcionar una metodología robusta para abordar desafíos previamente considerados intratables. Impulsado por avances en computación y matemáticas, el MEF ha continuado evolucionando, expandiendo tanto su precisión como su rango de aplicabilidad, lo que ha permitido a los ingenieros abordar problemas cada vez más complejos. Además, la integración del MEF con tecnologías emergentes, como la inteligencia artificial, augura un futuro de crecientes capacidades y aplicaciones.
Por esta razón, es crucial que los ingenieros y científicos se mantengan al día con los últimos avances del MEF. La participación en programas de educación continua y capacitación especializada es esencial para que los profesionales adquieran y mantengan las habilidades necesarias. La calidad de la malla, un componente crítico en la precisión del análisis, requiere el uso de técnicas avanzadas de generación y optimización. Los softwares comerciales y de código abierto, como ANSYS, ABAQUS, y FEniCS, son recursos valiosos que ofrecen funcionalidades adaptadas a necesidades específicas y deben ser aprovechados para realizar análisis detallados.
Además, se recomienda fomentar la colaboración entre diferentes disciplinas de ingeniería y ciencias para abordar problemas complejos de manera multifacética utilizando el MEF. Esta interdisciplinariedad puede llevar a soluciones más innovadoras y efectivas. La inversión en investigación y desarrollo también es crucial para explorar nuevas aplicaciones del MEF y mejorar sus capacidades, especialmente en áreas prometedoras como el análisis multiescala y la simulación acoplada de múltiples físicas, que presentan oportunidades para logros aún más significativos.
Bibliografía
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