Solución Numérica al Diseño de Pavimentos Flexibles

Una solución numérica a la Ecuación de la AASHTO-93, sin necesidad del nomograma de diseño de pavimentos flexibles.

Palabras Clave: Diseño, métodos numéricos, pavimentos flexible, AASHTO, número estructural, ecuaciones no lineales.

Introducción

Hace dos (02) años me enfrentaba a un diseño de pavimentos flexibles, en uno de los últimos proyectos en los que estuve trabajando para una consultora petrolera. En ese momento, me tocó repasar el procedimiento de la AASHTO – 93 para el diseño de este tipo de pavimentos, durante algunos días, púes tenía mucho tiempo sin tocar el área de vialidad.

Sin embargo, ya mucho tiempo antes del diseño, tenía en mi cabeza una pregunta: puedo diseñar pavimentos flexibles sin necesidad de usar el famoso nomograma que representa la solución a la ecuación general de la AASHTO-93? De seguro había soluciones vía Excel u otro programa, pero siempre sujeto al uso del nomograma de la ecuación general visto en la Universidad. Entonces porque no aplicar un método numérico para darle solución a la ecuación de la AASHTO-93?

En esta oportunidad, voy a hablarles de una solución numérica que decidí aplicar al diseño de pavimentos flexibles, para así decirle definitivamente adiós al nomograma que utilizaba desde la Universidad. Las soluciones con nomograma, suelen ser subjetivas porque están fijadas a la apreciación visual del ingeniero y es un método que puede exige cierto tiempo ya que la solución al problema es iterativa, de hecho siempre lo será, con la diferencia, que en la solución que voy a explicarle será más rápido.

La Ecuación AASHTO-93

Para comprender mejor el tema, hablemos de la ecuación general de diseño de pavimentos flexible AASHTO-93:

Donde:

Wt18: Valor de Cargas Equivalentes y Repeticiones.

ZR: Desviación Estándar.

SO: Error Estándar.

DPSI: Servicapacidad.

MR: Módulo resilente para Base, subbase y rasante.

SN: número estructural.

La aplicación de la ecuación, pasa por determinar los parámetros indicados anteriormente, los cuales están tabulados en la norma. Nos enfocaremos en la solución numérica de la misma.

Solución Numérica

Como podemos apreciar, se trata de una ecuación no lineal, lo cual hace más difícil hallarle una solución analítica por lo que recurrimos al nomograma, puesto que la incógnita en esta ecuación es el número estructural SN y el resto de los parámetros pueden ser conocidos durante el proceso de generación de datos; ahora bien, que pasa si replanteamos esa ecuación y la igualamos a cero:

Ahora tenemos una ecuación no lineal con un problema para hallar la raíz de la misma, lo que analíticamente es complejo, salvo por aplicar métodos numéricos. Los métodos numéricos son métodos iterativos cuyas formulaciones permiten una convergencia hacia la solución deseada del problema bajo un margen de tolerancia admisible. No son exactos, pero sí bastante precisos.

Los métodos numéricos facilitan la resolución mediante un proceso iterativo que localiza las raíces de las funciones. Existen diversos planteamientos de estos métodos, teniendo entre ellos los siguientes: Bisección, Falsa Posición (Regula Falsi), Newton – Raphson, Secante y Punto Fijo.

El método Newton – Raphson tiene como desventaja la necesidad de conocer el valor de f’ en cada aproximación y en algunos casos resulta la imposibilidad de deducir dicha derivada. Sin embargo, si se transforma esa derivada mediante la aplicación de la definición en diferencias de f’, en dos partes consecutivas, se tiene: 

La fórmula de Newton – Raphson se transforma en: 

La fórmula general queda:

Entonces se necesitaran de dos puntos que abarquen a la raíz:

Algoritmo:

Como podemos observar, este método posee un sencillo algoritmo y evita la necesidad de conocer la primera derivada (Newton-Rapshon), la cual ya es muy compleja considerando la ecuación AASHTO-93.

Ejemplo

 El procedimiento puede ser programado en hojas de cálculos en Excel. Así tenemos los siguientes datos: 

Donde F(x) es la ecuación AASHTO-93, evaluando la misma ubicamos el rango donde se halla el número estructural, para cada capa y su respectivo módulo resilente:

Se grafica las funciones, para conocer el rango donde cortan al eje X, siendo ese corte la raíz de la función y por tanto el número estructural del pavimento flexible que buscamos:

Aplicamos el método numérico de la secante para hallar el número estructural o raiz:

En este punto es donde no se utiliza el nomograma, sino que hemos aplicado la solución numérica para hallar el número estructural.

El resto del procedimiento, es similar al utilizado (Venezuela) usualmente, hallamos los coeficientes faltantes:

Y obtenemos el espesor de las capas: Base y Subbase.

Y listo, tenemos rápidamente nuestro diseño de pavimentos flexible mediante el método numérico de la Secante para ecuaciones no lineales.

Nótese que el procedimiento (similar a la AASHTO), es el típico de diseño de estas estructuras, la diferencia está en como obtenemos el número estructural mediante el algoritmo de la Secante, sin necesidad del famoso nomograma, el cual puede ser bastante subjetivo.

Espero esta metodología resulte útil a sus proyectos.

Nos estamos leyendo!

Derek A. Quinto C.

Ingeniero Civil, MSc. Estructuras.