Solución Numérica para el cálculo del Número Estructural "SN" y Espesor "D" para pavimentos flexible y rígido de las ecuaciones AASHTO 93.

Introducción

En el cálculo de paquetes estructurales en pavimentos existen diferentes métodos de resolución de la ecuación de diseño AASHTO 93, usados para obtener el valor más exacto de la variable incógnita, entre estos podemos mencionar: Cálculo por medio de ábacos, método de la falsa posición, método comparativo numérico, cálculo en software como: PavimR (Ing. Robert Marlindo Ramirez Quispe), DIPAV (Instituto Boliviano del Cemento y el Hormigón), Ecuación Aashto 93 (Ing. Luis Ricardo Vásquez); Y por supuesto el método de la Secante, este último aplicado en la actual investigación debido a su facilidad de cálculo en funciones de una variable incógnita donde se busque la raíz de dicha función.

El método de La Secante cuenta con la ventaja de ser simple y efectivo al aplicarlo en las ecuaciones de diseño AASHTO 93 para pavimentos rígidos como para flexibles.

Figura 1. Ecuación de diseño Pavimentos Flexibles.

Fuente: Manual de diseño estructural de caminos Aashto 93.

Figura 2. Ecuación de diseño Pavimentos Rígidos.

Fuente: Manual de diseño estructural de caminos Aashto 93.

De las anteriores ecuaciones tenemos diferentes datos de entrada o variables conocidas como el W18, ΔPSI, Po, Pt, Mr, R, Zr, Ec, S’c, Cd, J, Kc y entre las variables incógnitas: El número estructural o Structural Number (SN) para la ecuación de pavimentos flexibles y el espesor (D) para la ecuación de pavimentos rígidos.

Lo que se plantea hacer para hallar la variable incógnita en cada caso es despejar la ecuación igualándola a cero y obtener una función con única variable incógnita, cabe mencionar que esta dependerá en todos los casos de las variables constantes.

Figura 3. Ejemplo de la Ecuación de diseño Pavimentos Rígidos despejada e igualada a 0.

Fuente: Elaboración propia

Para hallar los SN de diferentes capas en un mismo pavimento flexible solo bastará cambiar el valor del Módulo resiliente (Mr) y para hallar los diferentes espesores de lozas en pavimentos rígidos tomando en cuenta diferentes espesores de capas (Base, sub base, sub rasante) se deberá cambiar el valor del módulo de reacción combinado (Kc).

Métodos

El método de La Secante es un método para encontrar las raíces o ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluación es demasiado elevado, el cual es nuestro caso ya que derivar funciones en tablas Excel se vuelve moroso y extenso, por tal motivo el método de La Secante se nos hace más atractivo.

Figura 4. Método de La Secante.

Fuente: Métodos Numéricos para Ingenieros con aplicaciones en computadoras, Steven Chapra, Raymond Canale.

Se debe conocer dos puntos de la función que serán nuestros parámetros dentro del cual estará la raíz de dicha función (x0 y x1), entonces llamamos Xn al número mayor del parámetro y Xn-1 al menor, luego la función se evaluará en Xn y en Xn-1. El resultado del método de La Secante nos dará el nuevo valor Xn+1, calculamos nuestro error restando a Xn+1 el valor Xn y luego dividiendo por Xn, este error deberá ser muy pequeño, es decir menor a 0.0001, el valor Xn+1 será nuestro nuevo valor Xn y adoptamos el anterior Xn como nuestro nuevo Xn-1, evaluamos la función con nuestros nuevos valores de Xn y Xn-1 para obtener nuevamente un valor de Xn+1, iteramos las veces necesarias hasta que cumpla con nuestro error de aceptable o sea que la función llegue a converger en cero. Una vez que llegamos a obtener nuestro error aceptable el último valor de Xn+1 hallado será nuestra raíz o variable incógnita buscada, tanto para la ecuación de diseño de pavimentos flexibles (SN) como para la ecuación de diseño de pavimentos rígidos (D).

Resultados y Discusión

El método de La Secante demuestra ser preciso y de aplicación directa en las ecuaciones de diseño de pavimentos AASHTO 93.

Realizando la comparación de resultados de este método con los software de diseño y los diferentes métodos, se observó que el método de La Secante es muy efectivo al llegar a converger en pocas iteraciones.

Figura 5. Datos de Entrada y Parámetros de la función despejada para pavimentos rígidos

Fuente: Elaboración propia

Figura 6. Aplicación del método de la secante en tablas Excel para la ecuación de pavimentos rígidos despejada.

Fuente: Elaboración propia. 

Figura 7. Aplicación del método de la secante en tablas Excel para la ecuación de pavimentos rígidos despejada.

Fuente: Elaboración propia. 

Figura 8. Función de la ecuación de pavimentos flexibles despejada y datos de entrada de la misma.

Fuente: Elaboración propia. 

Figura 9. Parámetros de la función, método de la secante aplicado a la ecuación despejada de pavimentos flexibles en tablas Excel.

Fuente: Elaboración propia.

También se llegó a observar en pavimentos rígidos que al insertar valores del módulo de reacción combinado (Kc) elevados a los parámetros normales, es decir mayores a 800.14 PCI equivalente a un 100% de CBR de una Sub rasante, la función presenta más de una raíz, pero debido a que es un valor exagerado para el módulo de reacción combinado generalmente no se superará este valor en el diseño. Al evaluar la función de pavimentos rígidos dentro de algunos parámetros, dependiendo el caso de cada diseño aparecen valores complejos, es decir números imaginarios que si no son corregidos los parámetros, pueden afectar en la aplicación del método de La Secante. 

Conclusiones

Al darnos el resultado que buscamos en pocas iteraciones el método de La Secante es un método directo para hallar las raíces de las funciones de las ecuaciones de pavimento flexible y rígido AASHTO 93

Se recomienda trabajar con el método de La Secante para hallar el Número Estructural (SN) y el Espesor (D) en hojas Excel por su facilidad de aplicación y su precisión. Este puede llegar a ser empleado hoy en día gracias al avance de la tecnología en un celular que cuente con la aplicación de hojas de cálculo. Sin embargo si se cuenta con un software especializado y confiable la interface de este facilitará la entrada de datos y la obtención del resultado esperado, siempre verificando que el software con el cual trabajamos no presente errores.

Referencias

Libros:

[1]    TRADUCCIÓN DISEÑO ESTRUCTURAL DE CAMINOS MÉTODO AASHTO ’93, Escuela de Ingeniería de Caminos de Montaña, Universidad Nacional de San Juan, 377p., 1998.

[2]    MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Con aplicaciones en computadoras personales, Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, 641p., 1987.