Convergencia de variables aleatorias

En teoría de la probabilidad, existen diferentes nociones de convergencia de variables aleatorias. La convergencia de sucesiones de variables aleatorias a una variable aleatoria límite es un concepto importante en teoría de la probabilidad, y en sus aplicaciones a la estadística y los procesos estocásticos.

Convergencia en distribución

Definición

Se dice que una sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge en distribución, o converge en ley, o converge débilmente, a una variable aleatoria $X$ si

\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),

para todo punto $x\in \mathbb {R}$ en el que $F$ es continua, donde $F_{n}$ y $F$ denotan las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias $X_{n}$ y $X$ , respectivamente.

La convergencia en distribución puede indicarse como:

${\begin{aligned}{}\\&X_{n}\ \xrightarrow {d} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {D} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {L} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {\mathcal {D}} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {\mathcal {L}} \ X,\\&X_{n}\rightsquigarrow X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {L}}_{X},\ \ {\mathcal {L}}(X_{n})\to {\mathcal {L}}(X),\\\\\end{aligned}}$

(1)

donde $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}$ es la ley (distribución de probabilidad) de $X$ . Por ejemplo, si $X$ es una gausiana típica o normal estándar se puede escribir $X_{n}\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\,1)$ .

Convergencia en probabilidad

Definición

Una sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge en probabilidad a una variable aleatoria $X$ si para todo $\epsilon >0$

\lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|X_{n}-X|>\varepsilon {\big )}=0.

Suele indicarse de alguna de estas maneras:

$X_{n}\ \xrightarrow {p} \ X,\ \ X_{n}\ \xrightarrow {P} \ X,\ \ X_{n}\ {\overset {}{\xrightarrow {\Pr } }}\ X,\ \ {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\,X_{n}=X.$

(2)

Convergencia casi segura

Definición

Una sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge casi seguramente, o con probabilidad 1, a una variable aleatoria $X$ si

\operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.

Notación:

${\overset {}{X_{n}\,\xrightarrow {\mathrm {c.s.} } \,X.}}$

(3)

Convergencia en $L^{r}$

Definición

Dado un número real $r\geq 1$ , se dice que la sucesión $X_{1},X_{2},\ldots$ de variables aleatorias reales converge en $L^{r}$ a la variable aleatoria $X$ , si los momentos absolutos $r$ -ésimos ${\text{E}}(|X_{n}|^{r})$ y ${\text{E}}(|X|^{r})$ de $X_{n}$ y de $X$ existen, y