Comment comparez-vous les méthodes d’interpolation de Lagrange et de Newton ?

1 Interpolation de Lagrange

L’interpolation de Lagrange est une méthode qui utilise une combinaison linéaire de fonctions de base, appelées polynômes de Lagrange, pour construire un polynôme d’interpolation. Chaque polynôme de Lagrange est nul à tous les points de données sauf un, où il est un. Le polynôme interpolant est alors la somme pondérée des polynômes de Lagrange, où les poids sont les valeurs de la fonction aux points de données. L’interpolation de Lagrange a l’avantage d’être facile à mettre en œuvre et à comprendre, et elle ne nécessite pas de résoudre un système d’équations ou de trouver des dérivées. Cependant, l’interpolation de Lagrange peut souffrir de degrés élevés, d’oscillations et d’instabilité numérique, en particulier lorsque les points de données ne sont pas régulièrement espacés ou rapprochés.

2 Interpolation de Newton

L’interpolation de Newton est une méthode qui utilise une forme imbriquée d’une fonction polynomiale, appelée polynôme de Newton, pour construire un polynôme interpolant. Le polynôme de Newton est construit en ajoutant des termes qui sont des produits de différences de valeurs de fonction et de puissances de différences de points de données. La différence de valeurs de fonction, appelée différences divisées, peut être calculée récursivement à l’aide d’une table ou d’une formule. L’interpolation de Newton a l’avantage d’être efficace et stable, et elle permet d’ajouter plus de points de données sans changer les termes précédents. Cependant, l’interpolation de Newton peut être difficile à implémenter et à comprendre, et elle nécessite de trouver des différences divisées et de les stocker en mémoire.

3 Critères de comparaison

En comparant les méthodes d’interpolation de Lagrange et de Newton, on peut utiliser certains critères pour mesurer leur performance et leur adéquation à différentes situations. Ces critères incluent la précision, la complexité, la flexibilité et la stabilité. La précision est déterminée par la façon dont le polynôme d’interpolation se rapproche de la fonction vraie à l’intérieur et à l’extérieur de l’intervalle de données. La complexité examine le nombre d’opérations et la mémoire nécessaires pour construire et évaluer le polynôme interpolant. La flexibilité est évaluée par la facilité avec laquelle il est possible de modifier ou d’étendre le polynôme d’interpolation lorsque de nouveaux points de données sont ajoutés ou supprimés. Enfin, la stabilité évalue la sensibilité du polynôme interpolant aux erreurs ou aux changements dans les points de données ou les valeurs de fonction.

5 Exemples d’application

Pour montrer comment les méthodes d’interpolation de Lagrange et de Newton peuvent être utilisées pour résoudre différents problèmes d’analyse numérique, examinons quelques exemples. Par exemple, si vous avez besoin de trouver la valeur d’une fonction en un point qui n’est pas donné par une table ou une formule, vous pouvez utiliser l’interpolation de Lagrange ou de Newton en fonction des points de données disponibles et de leur espacement. Par exemple, si vous avez une table de valeurs de sin(x) aux points également espacés de 0 à pi/2, vous pouvez utiliser l’interpolation de Lagrange pour trouver le péché(0.3) avec un polynôme de degré suffisamment bas. Par contre, si vous avez une table de valeurs de exp(x) aux points inégalement espacés de 0 à 1, alors l’interpolation de Newton est plus appropriée pour trouver exp(0.5) avec un polynôme plus stable. De même, lorsque vous souhaitez lisser ou ajuster une courbe à des données bruyantes ou dispersées, vous pouvez choisir entre l’interpolation de Lagrange ou de Newton en fonction du degré de lissage et du nombre de points de données. Enfin, lorsque vous essayez de résoudre une équation différentielle en la convertissant en un système d’équations algébriques, le type de conditions aux limites et l’ordre de précision détermineront quelle méthode est la plus appropriée.

6 Voici ce qu’il faut prendre en compte

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