Le palindrome du diable

et le nombre 37

Note : cet article est en fait de mon alter ego, © Gilles HAINRY, agrégé de l'université, professeur honoraire à l'Université du Maine, à LavaL.

▶ Comme les histoires drôles, les palindromes "alphabétiques" se transmettent le plus souvent oralement, leurs découvreurs géniaux et souvent plein d'humour se trouvant de ce fait méconnus ; qui, par exemple, est l'auteur du fameux

ERIC NOTRE VALET ALLA TE LAVER TON CIRE ?

Sans doute le même qui a noté avec malice qu'il valait mieux que le valet ne s'appelât pas LUC !

➡ On rappelle que :

Un palindrome est une phrase, un nombre, un message, qui, si l'on ne tient compte ni des espaces ou apostrophes, ni des signes de ponctuation, peut être lu de droite à gauche ou de gauche à droite en gardant le même sens ou plutôt la même signification.

➡ Nous ferons dans cet article quelques observations relatives aux palindromes numériques, et plus particulièrement à ceux qui sont liés au fameux nombre 37. C'est notamment le cas du nombre du Diable 666.

➡ Remarquons tout d'abord que tout nombre entier peut s'écrire sous la forme d'un palindrome, et souvent de nombreuses manières différentes.

Le nombre 37, par exemple, peut s'écrire :

1 + 1 + 1 + 1 + . . . . . + 1 + 1 + 1 + 1 (où 1 apparait 37 fois)

ou 11 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 11 (où le chiffre 1 est utilisé 3 + 7 (ou 10) fois)

Remarquons cependant que l'expression 1 1 1 / (1 + 1 + 1) (avec six 1, écrite sur plusieurs lignes [voir image]) n'est pas un vrai palindrome, mais traduit un résultat que nous reverrons, et qui justifie à lui seul le choix du nombre 37 comme thème.

Si l'on veut utiliser d'autres chiffres que 1, on peut noter que 37 s'exprime aussi (entre autres) sous les formes :

11 + 2 + 11 + 2 + 11

12 + 4 + 21

 61 - 8 - 16

72 - 8 - 27

(3 * 6) + 1 + (6 * 3)

 (4 ^ 2) + 5 + (2 ^ 4)

où "^" désigne l'opérateur "puissance" : 4 ^ 2 = 4 * 4 et 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2

 ➡ Mais, revenons à l'égalité (111 / 3) = 37 ; elle montre que la suite (arithmétique) des douze nombres

 0 * 37 ; 3 * 37 ; 6 * 37 ; 9 * 37 ; 12 * 37 ; 15 * 37 ;18 * 37 ; 21 * 37 ; 24 * 37 ; 27 * 37 ; 30 * 37 et 33 * 37

 est constituée de palindromes (dont un palindrome généralisé) ; ce sont en effet

 0 ; 111 ; 222 ; 333 ; 444 ; 555 ; 666 ; 777 ; 888 ; 999 ; 1110 (ou 01110) et 1221.

 Les dix premiers ne sont pas tout à fait anodins et le septième, 666, a souvent été considéré comme diabolique . Il est en effet à la fois

✔ multiple de 37 puisque

666 = 18 * 37

 ✔ somme des 37 premiers entiers car

0 + 1 + 2 + 3 + .......... + 33 + 34 + 35 + 36 = 666

 ✔ somme des carrés des sept premiers nombres premiers :

 666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17²

 ✔ somme de cubes :

 666 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+5^3+4^3+3^3+2^3+1^3

 que l'on écrira sous la forme d'un palindrome :

 (1*1*1)+(2*2*2)+(3*3*3)+(4*4*4)+(5*5*5)+(6*6*6)+(5*5*5)+(4*4*4)+(3*3*3)+(2*2*2)+(1*1*1)

 ➡ Revenons à 37 pour noter que 37 + 73 donne pour résultat 110 (ou 0110) qui est un palindrome généralisé ; on a donc :

 37 + 73 = 0110 = 37 + 73

 qui se lit de gauche à droite ou de droite à gauche.

 ➡ Terminons en observant les premières puissances de 111 :

 111^0 = 1 ;

111^1 = 111 ;

111^2 = 12321 ;

111^3 = 1367631

 Les résultats sont des nombres palindromes et l'on peut écrire les égalités palindromes :

 12321 = 111 * 111 = 12321

 1367631 = 111 * 111 * 111 = 1367631

 🔴 © Gilles HAINRY, Université du Maine et Hilaire GLYNS ☺

Exercice : Une permutation de chiffres dans le nombre 12321 permet d'obtenir un palindrome multiple de 666 ; lequel ?

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