[Probabilité] Un cas curieux

Hello,

Le calcul des probabilités fait partie des rares (hélas) notions mathématiques apprises à l'école, dont je me sers couramment. Son utilisation permet souvent d'y voir plus clair dans des situations complexes, où l'intuition peut facilement nous induire en erreur.

Fort de ce constat, j'essaie de ne pas rater les occasions de m'y entraîner ; je partage donc le cas auquel j'ai réfléchi avant-hier, à l'occasion d'un heureux évènement survenu pour mon frère Massimiliano et son épouse.

Il s'avère que mon "noyau familial élargi" compte depuis le 29/04/2019 13 personnes : mes 2 parents, ma fratrie (4) et les enfants de la fratrie (7). Ça fait en tout 13 personnes, sans compter les conjoints de la fratrie.

Le fait assez curieux est que, à 13, nous couvrons tous les 12 mois de l'année par nos dates de naissance (seulement le mois de février compte 2 anniversaires).

Je me suis donc posé la questions suivante : si on prend 13 personnes au hasard, quelle est la probabilité qu'elles couvrent tous les 12 mois de l'année ?

Arrêtez de lire ici si vous souhaitez essayer de trouver la réponse vous-mêmes, ce que je recommande - à mon avis il est très important de faire travailler les méninges régulièrement pour que le cerveau reste "musclé"... sinon continuez ci-bas :-)

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Voici mon raisonnement qui, je le précise, ne prend pas en compte la différence de jours entre les mois, et encore mois a fortiori les années bissextiles.

L'évènement "13 personnes couvrent 12 mois", que je nomme E peut être survenir de 12 façons différentes, que je nomme E1, E2, .... , E12, où :

• E1 est l'évènement où la 2ème personne (par exemple triée selon l'age, mais on peut prendre n'importe quel autre critère de tri) naît le même mois que la 1ère, puis les 11 autres naissent toutes à un mois différent des précédentes ;
• E2 : la 2ème personne naît à un mois différent de la première, puis la 3ème naît à un mois qui coïncide avec celui de la 1ère ou de la 2ème, et les suivantes naissent toutes à des mois différents ;
• E3 : le 3 premières personnes naissent à des mois différents, puis la 4ème naît à un mois qui coïncide avec celui d'une des 3 premières personnes, et les suivantes naissent toutes à des mois différents ;
• [...]
• E12 : les 12 premières personnes naissent à des mois différents, la 13ème forcément naît à un mois qui est déjà couvert par l'une des 12 précédentes.

On constate que P(E) = P(E1 U E2 U ... U E12) = P(E1) + P(E2) + ... + P(E12), où U représente l'union entre évènements incompatibles, dont on peut additionner les probabilités.

Passons donc au calcule des P(Ei), pour i de 1 à 12 :

• P(E1) = 1/12 * 11/12 * 10/12 * ... * 1/12 = 11! / 12^12

En effet, la probabilité que la 2ème personne naisse le même mois que la 1ère est de 1/12 (1 mois possible parmi les 12). Pour que la 3ème ne naisse pas le même mois que les 2 précédentes, nées le même mois, ça donne 11 mois possibles sur 12, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière qui peut naître seulement sur l'un des 12 mois, car les 11 précédents sont déjà couverts. On multiplie les probabilités car les 12 sous-évènements considérés sont indépendants.

• P(E2) = 11/12 * 2/12 * 10/12 * ... * 1/12 = 2*11! / 12^12

Comme plus haut : pour que la 2ème naisse à un mois différent de la 1ère, la probabilité est de 11/12. La 3ème a 2 mois possibles pour que son mois de naissance coïncide avec l'une des 2 précédentes (ça donne 2/12), et ainsi de suite.

• P(E3) = 11/12 * 10/12 * 3/12 * ... * 1/12 = 3*11! / 12^12
• [...]
• P(E12) = 11/12 * 10/12 * ... * 1/12 * 12/12 = 12*11! / 12^12

La sommes de ces probabilités donne un résultat assez élégant :

P(E) = (1+2+3+...+12) * 11! / 12^12 = (13*6) * 11! / 12^12 = 0.000349

Pour rappel, n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1.

Cela donne donc environ 3.5 chances sur 10 000.

Au passage, ce résultat a été confirmé par mon frère Massimiliano qui, avec une approche plus empirique, a fait tourner une simulation de Monte-Carlo sous Excel :-)

Qu'en pensez-vous ? Êtes-vous d'accord avec le raisonnement ? Avez-vous trouvé une solution plus élégante ? Curieux de lire vos commentaires... !