Un Nouveau Paradigme pour l'Optimisation des Ressources : Briser les Chaînes de la Linéarité
L'optimisation des ressources et la capacité de prédiction sont les pierres angulaires d'une gestion efficace dans tous les secteurs de l'économie. Notre monde, toujours plus interconnecté et dépendant de ressources limitées, exige une approche radicalement différente de la manière dont nous gérons, utilisons et réutilisons ces ressources.
Malgré les progrès technologiques et les efforts croissants en matière de durabilité, les systèmes d'optimisation et de prédiction actuels restent prisonniers d'un paradigme linéaire, obsolète face à la complexité des systèmes circulaires. Cette inadéquation engendre des inefficacités, du gaspillage et des impacts négatifs sur l'environnement.
Les Limites des Approches Traditionnelles
Les modèles d'optimisation linéaire, largement utilisés dans l'industrie, sont conçus pour des processus unidirectionnels, où les ressources sont extraites, transformées et finalement jetées. Ils échouent à saisir la nature cyclique des flux de matières et d'énergie inhérente à l'économie circulaire, où les déchets deviennent des matières premières, et la valeur des produits est maintenue le plus longtemps possible.
De même, les modèles de prédiction traditionnels, souvent basés sur des données historiques, peinent à anticiper les ruptures et les innovations qui caractérisent l'économie circulaire. Ils manquent de la flexibilité nécessaire pour intégrer des données en temps réel, des variables contextuelles et des informations qualitatives, ce qui limite leur capacité à fournir des prédictions précises et fiables.
L'Émergence d'un Nouveau Paradigme : le Modèle Mathématique Unifié pour l'Optimisation des Ressources Circulaires
Face aux limitations des approches traditionnelles, un nouveau modèle mathématique émerge, promettant de révolutionner la gestion des ressources et d'accélérer la transition vers une économie circulaire et durable. Ce modèle, fondé sur une arithmétique ternaire étendue et un concept innovant d'opérateur trinitaire, offre un cadre mathématique puissant pour modéliser la complexité des systèmes circulaires.
L'arithmétique ternaire, contrairement au système binaire traditionnel, utilise trois états pour représenter les ressources: inutilisée, en cours d'utilisation et prête pour la réutilisation. Cette nuance supplémentaire permet de modéliser la cyclicité des ressources de manière plus précise et intuitive.
L'opérateur trinitaire, quant à lui, définit les règles d'interaction entre les différents états des ressources. Il permet de modéliser la transformation des ressources d'un état à un autre, tout en tenant compte des contraintes du système.
Ce nouveau modèle mathématique permet de :
Ce modèle ouvre la voie à une nouvelle génération d'outils d'aide à la décision, capables de guider les entreprises et les organisations vers une gestion des ressources plus efficace, plus durable et plus résiliente. Il fournit un cadre mathématique rigoureux pour analyser les systèmes complexes, identifier les points de levier et prendre des décisions éclairées, contribuant ainsi à la transition vers une économie circulaire et à la construction d'un avenir plus durable.
Pour illustrer la puissance de ce modèle, des applications concrètes ont été développées dans des secteurs clés comme le recyclage et l'agriculture. Ces applications démontrent sa capacité à répondre aux défis de l'optimisation des ressources dans un contexte de circularité et à générer des solutions innovantes pour un avenir plus durable.
Ce document présente un modèle mathématique novateur conçu pour optimiser l'allocation et la gestion des ressources dans un contexte d'économie circulaire. Fondé sur une arithmétique ternaire originale, le modèle offre une approche unique pour modéliser la cyclicité et la fermeture inhérentes aux systèmes de ressources circulaires. Cette arithmétique ternaire permet une représentation précise des différents états des ressources, de leurs interactions et de leurs transformations au sein d'un système circulaire.
Points importants à prendre en considération :
Structure du document :
1. Introduction
1.1 Contexte et Motivation
Le modèle mathématique unifié répond à un besoin croissant d'outils d'aide à la décision pour la gestion des ressources dans un contexte d'économie circulaire. Face à la raréfaction des ressources et aux impératifs de durabilité, il est crucial de développer des systèmes de production et de consommation qui minimisent le gaspillage et maximisent la réutilisation des ressources.
Ce modèle a été développé pour fournir un cadre mathématique rigoureux permettant de :
L'arithmétique ternaire, au cœur du modèle, offre un langage mathématique adapté pour représenter la nature cyclique des ressources. Elle permet de modéliser les transitions entre différents états de ressources, la réutilisation des matières, et la valorisation des déchets, concepts essentiels à l'économie circulaire.
Modèle Mathématique Unifié : Optimisation des Ressources Circulaire avec Test du Khi-deux Trinitaire
1. Fondements Théoriques Unifiés
1.1 Ensemble des Nombres Trinitaires Étendus (NTE)
Définissons NTE = {0, 1, 2, \dots, 10}, un ensemble discret représentant les états fondamentaux des ressources, élargissant l'ensemble trinaire classique NT pour inclure 10 comme borne maximale.
1.2 Opérateur Trinitaire Étendu
L'opérateur \oplus_T est défini comme suit :
a \oplus_T b = (a + b) \mod 11
Cet opérateur garantit une cyclicité et une fermeture dans l'ensemble NTE, essentiel pour modéliser des systèmes symétriques et répétitifs.
1.3 Indice de Complément Trinitaire
Pour tout i \in NTE, son indice de complément est défini par :
c_i = 10 - i
Cette notion introduit une symétrie intrinsèque, où chaque élément trouve son équilibre dans l'ensemble.
1.4 Rôle des Indices et Relations avec le Centre Pivot
Chaque nombre dans NTE est associé à un indice I(i), exprimant sa contribution relative dans l'équilibre global. Les indices permettent de modéliser les interactions entre nombres, avec une relation fondamentale :
I(i) + I(c_i) = K_T
Où K_T est une constante centrale définie par le pivot.
Le centre pivot C agit comme une origine de symétrie et d'attraction, définie par :
C = \bigoplus_{i=0}^{10} (I(i) \cdot x_i)
Ce pivot influence la stabilité du système, en déterminant la balance des indices dans toutes les opérations.
2. Fonction Objectif Trinitaire
2.1 Maximisation de l'Efficacité Globale
La fonction objectif cherche à maximiser une efficacité globale trinitaire :
f_T(x) = \bigoplus_{i=0}^{10} (w_i \oplus_T x_i)
Où :
2.2 Interprétation
Cette fonction mesure l'efficacité globale d'un système en tenant compte de l'interaction modulaire des ressources, tout en maintenant un équilibre basé sur les indices et le pivot central C.
3. Contraintes Principales Trinitaires
3.1 Conservation Totale des Ressources
La somme modulaire des ressources doit être égale au total trinitaire disponible T_T :
\bigoplus_{i=0}^{10} x_i = T_T
3.2 Équilibre des Compléments
Pour chaque i \in {0, 1, \dots, 5} :
x_i \oplus_T x_{c_i} = k_T
Où k_T est une constante d’équilibre trinitaire, fixée en fonction des objectifs du système.
4. Contraintes Basées sur les Unités Trinitaires
4.1 Définition de l'Unité Trinitaire
Soit u_T l’unité trinitaire de base, définissant les variations maximales acceptables entre les états de ressources.
4.2 Différences Autorisées
Pour chaque paire (i, j) \in NTE \times NTE :
|x_i \ominus_T x_j| \leq u_T
Où :
5. Formule Khi-deux Trinitaire Intégrée
5.1 Formulation Adaptée
Le test du Khi-deux trinitaire est défini comme suit :
\chi^2_T = \sum_{i=0}^{10} \frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i \oplus_T 1}
Où :
5.2 Utilisation
Cette formule permet d’évaluer la concordance entre les distributions de ressources observées et attendues dans un cadre trinitaire.
6. Contraintes de Flux Trinitaire
Pour garantir une répartition cohérente des ressources dans le temps, imposons :
i_i(t) \oplus_T \alpha_i = j_j(t)
Où \alpha_i est un coefficient de flux trinitaire prédéfini.
Introduisons également un flux trinitaire global reliant chaque élément au pivot central :
F_T(i, t) = x_i \cdot I(i) \oplus_T C
Ce flux permet de modéliser les interactions et transitions temporelles dans le système.
7. Équation Différentielle du Khi-deux Trinitaire
Pour modéliser la dynamique temporelle des ressources :
\frac{d\chi^2_T(t)}{dt} = \sum_{i=0}^{10} \frac{d}{dt}\left(\frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i \oplus_T 1}\right)
Où i_i(t) et j_j(t) sont des termes d'interaction dynamiques liés aux états temporels.
8. Analyse de Sensibilité Trinitaire
Pour évaluer l’impact des paramètres, introduisons un paramètre de sensibilité trinitaire \alpha_T :
S_T = \frac{\partial \chi^2_T}{\partial \alpha_T}
Modèle Mathématique Universel : Facteur X
1. Identification des Variables et Attribution d'Indices
1.1 Facteurs Économiques
1.2 Facteurs Sectoriels
1.3 Facteurs Internes à l'Entreprise
1.4 Facteurs Externes
2. Modélisation Mathématique
2.1 Formulation du Modèle
Nous allons formuler un modèle qui intègre ces variables et leurs indices :
P_t = \alpha + \sum_{i=1}^{10} (w_i \cdot X_i) + \sum_{j=1}^{10} (v_j \cdot I^j) + \epsilon_t
où :
3. Fonction Objectif du Modèle Facteur X
La fonction objectif cherchera à maximiser l'efficacité globale en tenant compte de tous les facteurs :
f_X(X, I) = \bigoplus_{i=1}^{10} (w_i \oplus_T X_i) \oplus_T \bigoplus_{j=1}^{10} (v_j \oplus_T I^j)
4. Contraintes Principales
4.1 Conservation Totale des Ressources
La somme modulaire des ressources doit être égale à un total disponible T_X :
\bigoplus_{i=1}^{10} X_i = T_X
4.2 Équilibre des Compléments
Pour chaque facteur :
X_i \oplus_T X_{c_i} = k_X
où k_X est une constante d’équilibre.
5. Test du Khi-deux pour le Modèle Facteur X
Le test du Khi-deux sera utilisé pour évaluer la concordance entre les valeurs observées et attendues :
\chi^2_X = \sum_{i=1}^{10} \frac{(X_i \ominus_T E_i)^2}{E_i}
où E_i représente les valeurs attendues pour chaque facteur.
6. Contraintes de Flux dans le Modèle
Pour garantir une répartition cohérente des ressources dans le temps :
X_i(t) \oplus_T \alpha_i = Y_j(t)
où Y_j(t) est une variable représentant l'état d'un autre facteur ou ressource à un moment donné.
7. Équation Différentielle du Modèle Facteur X
Pour modéliser la dynamique temporelle des facteurs et leur impact sur le prix des actions :
\frac{dP}{dt} = f(X, I)
8. Analyse de Sensibilité
Pour évaluer l’impact des paramètres sur le modèle :
S_X = \frac{\partial f_X}{\partial X_i} + \frac{\partial f_X}{\partial I^j}
Opérateur Prédiction
Définition de l'Opérateur Prédiction
L'opérateur prédiction, noté $$ P(x) $$, est conçu pour générer des résultats suggérés et analyser les écarts par rapport aux valeurs attendues. Il est défini comme suit :
P(x) = \left( R_s, E_d \right)
où :
1. Résultat Suggéré (R_s)
Définition
Le résultat suggéré est une estimation améliorée qui prend en compte non seulement les valeurs observées mais aussi leur importance relative dans le cadre du modèle. Il est calculé par :
R_s = \bigoplus_{i=0}^{10} (x_i \oplus_T w_i)
Variables et Indicateurs
Mécanisme
2. Analyse des Écarts ( E_d )
Définition
L'analyse des écarts permet d'évaluer la différence entre les valeurs observées et attendues, tout en identifiant les zones d'incertitude ou de manipulation potentielle dans les données. Elle est définie par :
E_d = \sum_{i=0}^{10} \frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i}
où :
Variables et Indicateurs
Mécanisme
Interprétation Globale de l'Opérateur Prédiction
L'opérateur prédiction permet d'obtenir deux résultats clés :
1.2 Définition des Ressources Circulaires et Enjeux
Les ressources circulaires se définissent comme des matières, des produits ou des composants qui sont conçus pour être réutilisés, recyclés ou valorisés à la fin de leur cycle de vie. L'objectif est de maintenir la valeur des ressources le plus longtemps possible, en réduisant au minimum la production de déchets et l'utilisation de nouvelles matières premières.
Les enjeux liés aux ressources circulaires sont multiples :
Le modèle mathématique unifié présenté dans ce document contribue à répondre à ces enjeux en fournissant un outil d'optimisation pour la gestion des ressources circulaires.
1.1 Ensemble des Nombres Trinitaires Étendus (NTE)
Définissons NTE = {0, 1, 2, ..., 10}, un ensemble discret représentant les états fondamentaux des ressources, élargissant l'ensemble trinaire classique NT pour inclure 10 comme borne maximale.
1.2 Opérateur Trinitaire Étendu
L'opérateur $\oplus_T est défini comme suit :
a \oplus_T b = (a + b) \mod 11
Cet opérateur garantit une cyclicité et une fermeture dans l'ensemble $NTE$, essentiel pour modéliser des systèmes symétriques et répétitifs.
1.3 Indice de Complément Trinitaire
Pour tout $i \in NTE$, son indice de complément est défini par :
c_i = 10 - i
Cette notion introduit une symétrie intrinsèque, où chaque élément trouve son équilibre dans l'ensemble.
1.4 Rôle des Indices et Relations avec le Centre Pivot
Chaque nombre dans NTE est associé à un indice $I ^{(i)}$, exprimant sa contribution relative dans l'équilibre global. Les indices permettent de modéliser les interactions entre nombres, avec une relation fondamentale :
I ^{(i)} + I ^{(c_i)} = K_T
Où K_T est une constante centrale définie par le pivot.
Le centre pivot C agit comme une origine de symétrie et d'attraction, définie par :
C = \bigoplus_{i=0}^{10} (I ^{(i)} \cdot x_i)
Ce pivot influence la stabilité du système, en déterminant la balance des indices dans toutes les opérations.
2.1 Formulation du Modèle
P^{t} = \alpha + \sum_{i=1}^{10} (w_i \cdot X_i) + \sum_{j=1}^{10} (v_j \cdot I ^{(j)}) + \epsilon^{t}
où :
Définition de l'Opérateur Prédiction
L'opérateur prédiction, noté P(x) est conçu pour générer des résultats suggérés et analyser les écarts par rapport aux valeurs attendues. Il est défini comme suit :
P(x) = \left( R_s, E_d \right)
où :
1. Résultat Suggéré (R_s)
Définition
Le résultat suggéré est une estimation améliorée qui prend en compte non seulement les valeurs observées mais aussi leur importance relative dans le cadre du modèle. Il est calculé par :
R_s = \bigoplus_{i=0}^{10} (x_i \oplus_T w_i)
2. Analyse des Écarts (E_d)
Définition
L'analyse des écarts permet d'évaluer la différence entre les valeurs observées et attendues, tout en identifiant les zones d'incertitude ou de manipulation potentielle dans les données. Elle est définie par :
E_d = \sum_{i=0}^{10} \frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i}
où :
1.3 L'Arithmétique Ternaire comme Fondement du Modèle
L'arithmétique ternaire, à la base du modèle, se distingue de l'arithmétique binaire (base 2) et de l'arithmétique décimale (base 10) couramment utilisées. Elle utilise trois chiffres : 0, 1 et 2. Cette arithmétique s'avère particulièrement adaptée pour représenter la nature cyclique des ressources dans un système circulaire.
Pourquoi l'arithmétique ternaire ?
L'arithmétique ternaire, bien qu'inhabituelle, offre un cadre mathématique solide et intuitif pour l'optimisation des ressources circulaires. Elle présente plusieurs avantages pour la modélisation et la gestion de ces ressources :
L'utilisation de l'arithmétique ternaire dans le modèle mathématique unifié permet de mieux comprendre et gérer les flux de ressources dans une économie circulaire. Elle offre une représentation concise et efficace des différents états et transitions d'une ressource, ce qui facilite l'optimisation de son utilisation.
Modèle Mathématique Unifié : Optimisation des Ressources Circulaires avec Test du Khi-deux Trinitaire
5.1 Formule
Le test du Khi-deux trinitaire, noté \chi^2_T, permet de mesurer la concordance entre une distribution observée de ressources et une distribution attendue. Il est défini par:
\chi^2_T = \sum_{i=0}^{10} \frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i \oplus_T 1}
Où :
5.2 Utilisation
Cette formule permet d’évaluer la concordance entre les distributions de ressources observées et attendues dans un cadre trinitaire.
6. Contraintes de Flux Trinitaire
Pour garantir une répartition cohérente des ressources dans le temps, imposons :
i_i(t) \oplus_T \alpha_i = j_j(t)
Où \alpha_i est un coefficient de flux trinitaire prédéfini.
Introduisons également un flux trinitaire global reliant chaque élément au pivot central :
F_T(i, t) = x_i \cdot I ^{(i)} \oplus_T C
Ce flux permet de modéliser les interactions et transitions temporelles dans le système.
7. Équation Différentielle du Khi-deux Trinitaire
Pour modéliser la dynamique temporelle des ressources :
\frac{d\chi^2_T(t)}{dt} = \sum_{i=0}^{10} \frac{d}{dt}\left(\frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i \oplus_T 1}\right)
Où i_i(t) et j_j(t) sont des termes d'interaction dynamiques liés aux états temporels.
8. Analyse de Sensibilité Trinitaire
Pour évaluer l’impact des paramètres, introduisons un paramètre de sensibilité trinitaire \alpha_T :
S_T = \frac{\partial \chi^2_T}{\partial \alpha_T}
Modèle Mathématique Universel : Facteur X
1. Identification des Variables et Attribution d'Indices
1.1 Facteurs Économiques
2. Modélisation Mathématique
2.1 Formulation du Modèle
Nous allons formuler un modèle qui intègre ces variables et leurs indices :
P^{t} = \alpha + \sum_{i=1}^{10} (w_i \cdot X_i) + \sum_{j=1}^{10} (v_j \cdot I ^{(j)}) + \epsilon^{t}
où :
3. Fonction Objectif du Modèle Facteur X
La fonction objectif cherchera à maximiser l'efficacité globale en tenant compte de tous les facteurs :
f_X(X, I) = \bigoplus_{i=1}^{10} (w_i \oplus_T X_i) \oplus_T \bigoplus_{j=1}^{10} (v_j \oplus_T I ^{(j)})
4. Contraintes Principales
4.1 Conservation Totale des Ressources
La somme modulaire des ressources doit être égale à un total disponible T_X :
\bigoplus_{i=1}^{10} X_i = T_X
4.2 Équilibre des Compléments
Pour chaque facteur :
X_i \oplus_T X_{c_i} = k_X
7. Équation Différentielle du Modèle Facteur X
Pour modéliser la dynamique temporelle des facteurs et leur impact sur le prix des actions :
\frac{dP}{dt} = f(X, I)
8. Analyse de Sensibilité
Pour évaluer l’impact des paramètres sur le modèle :
S_X = \frac{\partial f_X}{\partial X_i} + \frac{\partial f_X}{\partial I ^{(j)}}
Définition de l'Opérateur Prédiction
L'opérateur prédiction, noté P(x), est conçu pour générer des résultats suggérés et analyser les écarts par rapport aux valeurs attendues. Il est défini comme suit :
P(x) = \left( R_s, E_d \right)
où :
1. Résultat Suggéré (R_s)
Définition
Le résultat suggéré est une estimation améliorée qui prend en compte non seulement les valeurs observées mais aussi leur importance relative dans le cadre du modèle. Il est calculé par :
R_s = \bigoplus_{i=0}^{10} (x_i \oplus_T w_i)
Variables et Indicateurs
Mécanisme
2. Analyse des Écarts ( E_d )
Définition
L'analyse des écarts permet d'évaluer la différence entre les valeurs observées et attendues, tout en identifiant les zones d'incertitude ou de manipulation potentielle dans les données. Elle est définie par :
E_d = \sum_{i=0}^{10} \frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i}
où :
Variables et Indicateurs
Méthode d'Optimisation des Ressources Circulaires : Présentation Détaillée et Exemples Concrets
Cette méthode d'optimisation des ressources circulaires repose sur un modèle mathématique unifié intégrant des concepts trinitaires et une analyse statistique. L'objectif est de maximiser l'efficacité de la gestion des ressources tout en respectant des contraintes spécifiques. Nous allons présenter chaque étape de la méthode avec des exemples concrets pour faciliter la compréhension.
1. Définition du Problème
1.1 Identification des Ressources
Exemple Concret : Gestion d'une Usine de Production
Imaginons une usine qui produit trois types de produits : A, B et C. Les ressources disponibles sont :
Étape : Évaluer les Quantités Disponibles
Supposons que l'usine dispose des quantités suivantes :
2. Modélisation des Ressources
2.1 Utilisation de l'Opérateur Trinitaire Étendu
Nous allons modéliser les états de chaque ressource à l'aide de l'ensemble des nombres trinitaires étendus (NTE), qui va de 0 à 10.
Application de l'Opérateur Trinitaire Étendu
Pour chaque ressource, nous pouvons définir un état initial :
Nous pouvons utiliser l'opérateur \oplus_T pour combiner ces états. Par exemple, si nous voulons combiner la matière première et l'énergie :
\text{État combiné} = \text{MP} \oplus_T \text{E} = (4 + 3) \mod 11 = 7 \quad (\text{Élevé})
2.2 Indices de Complément
Pour chaque état, nous calculons l'indice de complément :
3. Formulation de la Fonction Objectif
3.1 Maximisation de l'Efficacité Globale
Définissons les poids d'importance pour chaque ressource en fonction de leur impact sur la production :
La fonction objectif est formulée comme suit :
f_T(x) = \bigoplus_{i=0}^{10} (w_i \oplus_T x_i)
En utilisant nos états et poids, nous avons :
f_T(x) = w_{MP} \oplus_T x_{MP} \oplus_T w_E \oplus_T x_E \oplus_T w_{MD} \oplus_T x_{MD}
Substituons les valeurs :
f_T(x) = (3 \oplus_T 4) \oplus_T (2 \oplus_T 3) \oplus_T (4 \oplus_T 5)
Calculons chaque partie :
Maintenant, combinons ces résultats :
f_T(x) = (7 + 5 + 8) \mod 11 = 20 \mod 11 = 9
Interprétation de la Fonction Objectif
La valeur obtenue indique un niveau d'efficacité globale dans la gestion des ressources.
4. Établissement des Contraintes
4.1 Conservation Totale des Ressources
La somme totale des allocations doit respecter le total disponible, soit :
\bigoplus_{i=0}^{10} x_i = T_T
Si nous avons un total disponible T_T de ressources égal à :
Nous devons vérifier que :
x_{MP} + x_E + x_{MD} = T_T
Pour notre exemple, si T_T=40+30+50=120
Vérification
En utilisant nos états initiaux, nous avons :
x_{MP}=4, x_E=3, x_{MD}=5
Nous devons ajuster ces valeurs pour qu'elles respectent le total disponible.
Ajustement
Disons que nous voulons allouer les ressources comme suit :
Nous vérifions alors si cela respecte notre contrainte:
6 + 6 + 6=18 <120
Nous devons donc ajuster nos allocations.
Ajustement Final
Supposons que nous décidions finalement d'allouer:
La vérification finale donne :
20 + 30 + 70 = 120 = T_T
Cette allocation respecte donc la contrainte de conservation totale des ressources.
4.2 Équilibre des Compléments
Pour garantir un équilibre dans le système, on peut imposer des contraintes d'équilibre des compléments :
x_i \oplus_T x_{c_i} = k_T
où k_T est une constante d'équilibre trinitaire.
Exemple
Pour la matière première (MP), avec x_{MP} = 20 et c_{MP} = 6 (car c_i = 10 - i), nous avons
20 \oplus_T x_6 = k_T
Si on fixe k_T = 5, on peut alors calculer x_6 :
x_6 = (k_T \ominus_T x_{MP}) \mod 11 = (5 - 20) \mod 11 = 6
Cela signifie qu'une quantité de 6 unités de la ressource complémentaire à MP est nécessaire pour respecter la contrainte d'équilibre.
5. Équations Différentielles
Des équations différentielles peuvent être utilisées pour modéliser la dynamique temporelle des ressources dans le système.
Par exemple,
\frac{dR(t)}{dt}=-kR(t)+b
où:
Cela peut être résolu numériquement ou analytiquement selon le besoin.
Ajustement Basé sur l'Analyse de Sensibilité
Pour évaluer comment les variations dans un paramètre spécifique influencent le résultat global, vous pouvez effectuer une analyse de sensibilité en modifiant progressivement vos allocations ou vos poids et en observant comment cela affecte votre fonction objectif ou vos contraintes.
Mise en Œuvre Pratique
Outils Technologiques Recommandés
Utilisez des outils comme Python ou R pour effectuer ces calculs et simulations. Voici quelques bibliothèques utiles :
Exemple d'utilisation en Python:
1. Importation des Bibliothèques
import ipywidgets as widgets
from ipywidgets import interact, interactive, fixed, HBox, VBox
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
2. Définition des Constantes
# Définition des constantes
NTE = range(11)
T_T = 55
u_T = 2
3. Implémentation des Opérateurs Trinitaires
# Opérateurs trinitaires
def oplus_T(a, b):
return (a + b) % 11
def ominus_T(a, b):
return (a - b) % 11
4. Fonctions du Modèle Trinitaire
# Indice de complément trinitaire
def c_i(i):
return 10 - i
# Fonction objectif trinitaire
def f_T(x, w):
return sum(oplus_T(w[i], x[i]) for i in NTE)
# Contraintes
def constraint_total(x):
return abs(sum(x) - T_T)
def constraint_complement(x):
return sum(abs(oplus_T(x[i], x[c_i(i)]) - 5) for i in range(6))
def constraint_difference(x):
return sum(abs(ominus_T(x[i], x[j])) > u_T for i in NTE for j in NTE)
# Khi-deux trinitaire
def chi_square_T(x, E):
return sum((ominus_T(x[i], E[i])**2) / (oplus_T(E[i], 1)) for i in NTE)
5. Création des Widgets Interactifs
# Création des widgets
w_sliders = [widgets.IntSlider(min=0, max=10, step=1, value=i, description=f'w{i}') for i in range(11)]
x_inputs = [widgets.IntText(value=5, description=f'x{i}') for i in range(11)]
output = widgets.Output()
6. Fonction de Mise à Jour et Affichage
# Fonction de mise à jour
def update_plot(w0, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8, w9, w10,
x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10):
w = [w0, w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8, w9, w10]
x = [x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10]
E = np.full(11, T_T // 11)
with output:
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output.clear_output(wait=True)
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.bar(range(11), x, alpha=0.5, label='Observé')
plt.plot(range(11), E, 'r--', label='Attendu')
plt.xlabel('Indice')
plt.ylabel('Valeur')
plt.title('Répartition des ressources')
plt.legend()
plt.show()
print(f"Fonction objectif: {f_T(x, w)}")
print(f"Contrainte totale: {constraint_total(x)}")
print(f"Contrainte de complément: {constraint_complement(x)}")
print(f"Contrainte de différence: {constraint_difference(x)}")
print(f"Khi-deux trinitaire: {chi_square_T(x, E)}")
# Création de l'interface utilisateur
ui = VBox([
HBox([VBox([widget for widget in w_sliders[:6]]),
VBox([widget for widget in w_sliders[6:]]),
VBox([widget for widget in x_inputs[:6]]),
VBox([widget for widget in x_inputs[6:]])]),
output])
# Création de l'interaction
interact_manual = interactive(update_plot,
w0=w_sliders, w1=w_sliders, w2=w_sliders,
w3=w_sliders, w4=w_sliders, w5=w_sliders,
w6=w_sliders, w7=w_sliders, w8=w_sliders,
w9=w_sliders, w10=w_sliders,
x0=x_inputs, x1=x_inputs, x2=x_inputs,
x3=x_inputs, x4=x_inputs, x5=x_inputs,
x6=x_inputs, x7=x_inputs, x8=x_inputs,
x9=x_inputs, x10=x_inputs)
# Affichage de l'interface
display(ui, interact_manual)
En résumé, ce code Python offre un outil interactif pour explorer le modèle mathématique unifié. Il permet de modifier les paramètres et de visualiser l'impact de ces changements sur les résultats. Il est important de noter que ce code est un outil d'exploration et non une solution d'optimisation complète du modèle.
Le code permet d'illustrer les concepts clés du modèle, tels que :
En manipulant les paramètres du modèle via les widgets, on peut observer comment ces concepts interagissent et influencent les résultats. Cela permet de mieux comprendre le fonctionnement du modèle et d'identifier les paramètres critiques pour l'optimisation des ressources circulaires.
Exemple Pratique : Optimisation des Ressources dans le Secteur des Déchets avec Veolia
Données Actuelles
Supposons que Veolia traite 50 millions de tonnes de déchets par an, avec un taux de recyclage actuel de 60 %, soit 30 millions de tonnes de déchets recyclés.
Objectif de Recyclage
Segmentation des Données
Pour une analyse plus détaillée, nous allons segmenter les déchets traités par catégories :
Modèle Mathématique
Ensemble des Nombres Trinitaires Étendus (NTE$
Nous définissons l'ensemble des états possibles pour la récupération des ressources :
NTE = {0, 1, ..., n}
Opérateur Trinitaire Étendu
L'opérateur \oplus_T est défini comme :
a + b = (a + b) mod (n+1)
Indice de Complément Trinitaire
Pour chaque état i dans NTE, l'indice de complément est défini par :
c_i = n - i
Fonction Objectif Trinitaire
Nous voulons maximiser l'efficacité globale :
f_T(x) = w_1 + w_2 + w_3 + w_4
Application du Modèle
Définition des Poids et États
Pour notre exemple :
État Actuel et Cible
Calcul de la Fonction Objectif
Analyse et Interprétation des Résultats
Amélioration du Modèle
En utilisant cette approche mathématique rigoureuse avec des données réelles, nous pouvons mieux comprendre comment optimiser les ressources dans un cadre circulaire tout en prenant en compte les spécificités du secteur des déchets et ses défis liés à la durabilité.
Données Supplémentaires par Catégorie
Pour aller plus loin dans l'analyse, nous pouvons également examiner d'autres segments spécifiques tels que :
Ces détails peuvent être intégrés dans le modèle afin d'obtenir une vision plus complète et précise des opérations et d'optimiser encore davantage les processus selon chaque catégorie spécifique.
2. Fondements Mathématiques
2.1 Définition Détaillée de l'Arithmétique Ternaire
L'arithmétique ternaire, est un système mathématique complet et cohérent, régi par ses propres règles et propriétés. Elle constitue le fondement du modèle mathématique unifié pour l'optimisation des ressources circulaires.
2.1.1 Ensemble des Nombres Ternaires Étendus (NTE)
L'ensemble des nombres ternaires étendus (NTE) est une extension de l'ensemble classique des nombres ternaires. Il est défini comme suit :
NTE = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Justification de l'Extension :
L'extension de l'ensemble ternaire classique à un ensemble de 11 éléments (de 0 à 10) est motivée par la nécessité de modéliser des systèmes de ressources plus complexes et plus nuancés.
2.1.2 Opérations Fondamentales : Addition, Soustraction, Multiplication, Division
Les opérations fondamentales de l'arithmétique ternaire, telles qu'appliquées dans le modèle, sont définies ci-dessous. Elles sont toutes basées sur le concept de modulo 11, assurant la fermeture et la cyclicité inhérentes à l'ensemble NTE.
Propriétés des Opérations Ternaires Étendues
2.1.3 Propriétés et Théorèmes Clés de l'Arithmétique Ternaire
L'arithmétique ternaire, en tant que système mathématique complet, possède ses propres propriétés et théorèmes qui régissent les relations entre les nombres et les opérations.
Théorèmes Fondamentaux :
Propriétés Essentielles :
2.2 Introduction des Concepts Spécifiques au Modèle
2.2.1 Opérateur Trinitaire Étendu (avec ses Propriétés)
L'opérateur trinitaire étendu est un concept clé du modèle mathématique. Il permet de combiner les états de ressources en tenant compte de la modularité de l'ensemble NTE.
Définition :
a ⊕_T b = (a + b) mod 11
Propriétés :
Interprétation :
L'opérateur trinitaire étendu représente l'interaction entre différents états de ressources dans un système circulaire. Il permet de modéliser la transformation des ressources d'un état à un autre tout en conservant la structure cyclique du modèle.
2.2.2 Indice de Complément Trinitaire (et sa Signification)
L'indice de complément trinitaire est un concept essentiel pour modéliser l'équilibre des systèmes de ressources dans le modèle.
Définition :
Pour chaque élément i dans l'ensemble NTE, son indice de complément c_i est défini comme suit :
c_i = 10 - i
Interprétation :
L'indice de complément trinitaire introduit une notion de symétrie dans l'ensemble NTE. Chaque nombre trouve son équilibre avec son complément, ce qui permet de modéliser des systèmes de ressources où chaque élément contribue à l'équilibre global.
Exemple :
L'indice de complément trinitaire est utilisé pour formuler des contraintes d'équilibre dans le modèle, assurant ainsi une gestion optimale des ressources.
3. Description du Modèle Mathématique
3.1 Formulation de la Fonction Objectif
La fonction objectif du modèle mathématique unifié est la pierre angulaire du processus d'optimisation. Elle permet de quantifier l'objectif à atteindre, que ce soit la maximisation de l'efficacité, la minimisation des coûts, ou la combinaison de plusieurs objectifs.
Définition Générale :
La fonction objectif est une expression mathématique qui dépend des variables de décision du modèle. Elle est généralement formulée comme une somme pondérée des contributions de chaque variable à l'objectif global.
Variables et Paramètres :
La fonction objectif peut inclure différentes variables et paramètres, en fonction du contexte d'application et des objectifs spécifiques.
Interprétation des Résultats :
La valeur de la fonction objectif, calculée pour une solution donnée, permet de comparer différentes options et d'identifier la solution optimale qui maximise ou minimise l'objectif souhaité.
Exemples de Fonctions Objectif :
Adaptation au Contexte :
La formulation de la fonction objectif est cruciale pour l'adaptation du modèle à des situations concrètes. Elle doit refléter fidèlement les objectifs et les contraintes spécifiques du contexte d'application.
3.2 Définition des Contraintes
Les contraintes du modèle mathématique unifié définissent les limites et les conditions que les solutions doivent respecter. Elles permettent d'encadrer le processus d'optimisation et d'assurer que les solutions trouvées sont réalistes et réalisables.
Types de Contraintes :
Le modèle peut intégrer différents types de contraintes, en fonction du contexte d'application et des caractéristiques du système de ressources étudié.
Formulation Mathématique :
Les contraintes sont généralement exprimées sous la forme d'inégalités ou d'égalités mathématiques, impliquant les variables de décision du modèle.
Exemples :
Importance des Contraintes :
Les contraintes jouent un rôle crucial dans le modèle mathématique unifié. Elles permettent de garantir que les solutions trouvées sont non seulement optimales du point de vue de la fonction objectif, mais également réalistes et réalisables dans le contexte d'application.
4. Mécanismes du Modèle
4.1 Explication Détaillée des Étapes de Calcul du Modèle
Le modèle mathématique unifié pour l'optimisation des ressources circulaires fonctionne selon un processus itératif qui combine l'évaluation de la fonction objectif, la vérification des contraintes, et l'ajustement des variables de décision.
Etapes Principales :
Algorithmes d'Optimisation :
Le choix des algorithmes d'optimisation dépend de la nature du modèle, de la complexité de la fonction objectif et des contraintes, ainsi que de la taille du problème.
4.2 Illustration du Fonctionnement du Modèle à Travers des Exemples Numériques Concrets
Pour illustrer le fonctionnement du modèle mathématique unifié, voici un exemple numérique simple qui montre comment les étapes de calcul sont appliquées pour optimiser un système de ressources.
Scénario :
Considérons un système de production qui utilise deux ressources : A et B. L'objectif est de maximiser la production totale, tout en respectant les contraintes de disponibilité des ressources et d'équilibre.
Définition du Modèle :
Etapes de Calcul :
Solution Optimale :
Vérification :
Conclusion :
Le modèle mathématique unifié a permis de trouver la combinaison optimale des ressources A et B qui maximise la production tout en respectant les contraintes du système. Cet exemple simple illustre la puissance du modèle pour résoudre des problèmes d'optimisation complexes dans un contexte de ressources circulaires.
4.3 Analyse de l'Impact des Différents Paramètres sur les Résultats du Modèle
Comprendre comment les différents paramètres du modèle influencent les résultats de l'optimisation est crucial pour une utilisation efficace du modèle. L'analyse de sensibilité permet d'évaluer l'impact de chaque paramètre sur la solution optimale et d'identifier les paramètres les plus critiques.
Méthodes d'Analyse de Sensibilité :
Paramètres Critiques :
Les paramètres qui ont un impact significatif sur la solution optimale sont considérés comme critiques. Il est important de les identifier pour :
Exemple :
Dans un modèle d'optimisation du recyclage, la sensibilité du modèle au coût de transport des matériaux recyclés peut être analysée. Si une augmentation du coût de transport a un impact significatif sur la rentabilité du système, ce paramètre est considéré comme critique. Des stratégies d'optimisation du transport ou de recherche de solutions locales pour le recyclage pourraient être envisagées.
5. Opérateur Prédiction : Analyse des Écarts
L'opérateur prédiction, un élément clé du modèle mathématique unifié, permet d'aller au-delà de la simple optimisation et d'analyser les écarts entre les prédictions du modèle et les observations réelles.
5.1 Définition de l'Opérateur Prédiction et de ses Composantes
L'opérateur prédiction est composé de deux éléments principaux :
5.2 Formules Mathématiques et Variables Utilisées
Résultat Suggéré :
Le calcul du Résultat Suggéré dépend de la structure du modèle et de la variable à prédire. Il peut s'agir d'une simple fonction linéaire des variables d'entrée ou d'une expression plus complexe impliquant des opérateurs ternaires et des fonctions non linéaires.
Exemple :
Analyse des Écarts :
L'écart entre le Résultat Suggéré (RS) et la valeur observée (VO) est généralement calculé comme la différence absolue ou relative entre les deux valeurs.
5.3 Interprétation des Résultats de l'Opérateur Prédiction
L'analyse des écarts permet de tirer des conclusions importantes sur la performance du modèle et sur la fiabilité des prédictions.
5.4 Justification de l'Importance de l'Opérateur Prédiction pour le Modèle
L'opérateur prédiction est un outil précieux pour :
6. Applications Pratiques
Le modèle mathématique unifié pour l'optimisation des ressources circulaires est un outil versatile qui peut être appliqué dans de nombreux secteurs d'activité pour améliorer la gestion des ressources et favoriser la transition vers une économie circulaire.
6.1 Industrie du Recyclage
Adaptation du Modèle :
Dans l'industrie du recyclage, le modèle peut être utilisé pour optimiser les flux de matériaux recyclables, de la collecte au traitement final, en tenant compte des coûts, des capacités de traitement, et des débouchés pour les matériaux recyclés.
Variables et Paramètres :
Fonction Objectif :
Contraintes :
Exemple Numérique :
Avantages du Modèle :
6.2 Agriculture Durable
Adaptation du Modèle :
Dans le domaine de l'agriculture durable, le modèle peut être utilisé pour optimiser l'utilisation des ressources naturelles (eau, sol, nutriments) et minimiser l'impact environnemental des pratiques agricoles.
Variables et Paramètres :
Fonction Objectif :
Contraintes :
Exemple Numérique :
Avantages du Modèle :
Diagrammes Textuels et Visuels du Modèle Mathématique Unifié
Les diagrammes précédents étaient principalement textuels. Voici une version plus visuelle et intuitive, tout en conservant l'aspect textuel pour une meilleure compréhension.
1. Ensemble des Nombres Trinitaires Étendus (NTE)
Représentation Visuelle:
0
/ \
1 10
/ \ / \
2 9 8
/ \ / \ / \
3 8 7 6
\ / \ / \ /
4 5 6
\ / \ /
5 4
\ /
3
|
2
Explication Textuelle:
2. Opérateur Trinitaire Étendu (⊕T)
Représentation Visuelle:
Imaginez un cercle avec les nombres de NTE. L'opération a ⊕<sub>T</sub> b se déroule ainsi :
Exemple:
3. Indice de Complément Trinitaire (ci)
Représentation Visuelle:
0-----10 (c<sub>0</sub>)
/ \ / \
1 9 8
/ \ / \ /
2 8 7
/ \ / \ / \
3 7 6 5
\ / \ / \ /
4 6 5
\ / \ /
5----5 (c<sub>5</sub>)
\ /
4
|
3----7 (c<sub>3</sub>)
|
2----8 (c<sub>2</sub>)
Explication Textuelle:
4. Fonction Objectif Trinitaire (fT(x))
Représentation Visuelle:
[Poids (w<sub>i</sub>)] + [Ressources (x<sub>i</sub>)] = [Efficacité (f<sub>T</sub>(x))]
⊕<sub>T</sub> ⊕<sub>T</sub> ⊕<sub>T</sub>
⊕<sub>T</sub> ⊕<sub>T</sub> ⊕<sub>T</sub>
Explication Textuelle:
5. Contraintes du Modèle
Représentation Visuelle:
Imaginez une balance avec deux plateaux :
Représentation Visuelle (Compléments):
Imaginez deux nombres sur le cercle NTE reliés par une ligne:
6. Test du Khi-deux Trinitaire (χ2T)
Représentation Visuelle:
Imaginez un graphique avec des barres :
Opérateur Prédiction
Définition de l'Opérateur Prédiction
L'opérateur prédiction, noté P(x) , est conçu pour générer des résultats suggérés et analyser les écarts par rapport aux valeurs attendues. Il est défini comme suit :
P(x) = \left( R_s, E_d \right)
où :
- R_s : Résultat suggéré basé sur les mécanismes du modèle.
- E_d : Analyse des écarts, permettant d'identifier les zones de probabilité de manipulation ou d'incertitude.
1. Résultat Suggéré (R_s)
1.1 Définition
Le résultat suggéré est une estimation qui prend en compte les valeurs observées et leur importance relative dans le cadre du modèle. Il est calculé par :
R_s = \bigoplus_{i=0}^{10} (x_i \oplus_T w_i)
1.2 Variables et Indicateurs
1. x_i :
- Description : Quantité observée pour l'état i $$ dans l'ensemble des nombres trinitaires étendus NTE Cela représente une mesure empirique ou une observation directe dans le système étudié.
- Type : Variable discrète représentant des mesures réelles (par exemple, quantités de ressources, performances).
- Exemple : Si x_2 = 7, cela signifie que pour l'état 2, la mesure observée est 7 unités d'une ressource donnée. Cela pourrait correspondre à 7 tonnes de déchets recyclables collectés dans une station.
Les valeurs x_i doivent être mesurées ou collectées à partir de données empiriques. Par exemple, si on mesure le volume de déchets recyclables dans une station de tri, cette valeur est directement représentée par x_i. La collecte peut se faire via des capteurs ou des relevés manuels.
2. w_i :
- Description : Poids d'importance associé à chaque état i $. Ce poids reflète la contribution relative ou l'importance stratégique de la ressource ou de l'état dans le système.
- Type : Variable discrète qui peut être ajustée pour refléter l'importance stratégique.
- Exemple : Si une ressource à l'état 1 est jugée plus critique pour le processus global, alors son poids pourrait être fixé à un niveau supérieur, par exemple, w_1 = 5. Cela signifie que cette ressource a une importance relative plus élevée dans le calcul du résultat suggéré.
Les poids peuvent être déterminés par des analyses de sensibilité ou des études de cas antérieures où l'impact de chaque ressource a été évalué. Par exemple, si une étude montre que le recyclage du plastique a un impact environnemental plus important que celui du papier, alors le poids associé au plastique pourrait être supérieur.
1.3 Mécanisme
1. Addition Modulaire :
- Pour chaque état i , on effectue une addition modulaire entre la valeur observée et son poids :
x_i \oplus_T w_i = (x_i + w_i) \mod 11
Cette addition modulaire garantit que le résultat reste dans le cadre des nombres trinitaires étendus et permet d'intégrer l'importance relative des différentes ressources.
Par exemple, si x_i = 9 et w_i = 3 :
x_i \oplus_T w_i = (9 + 3) \mod 11 = 12 \mod 11 = 1
Cela montre que même si la somme dépasse la borne maximale de 10, elle reste valide dans le cadre du modèle.
2. Somme des Résultats Suggérés :
- Le résultat suggéré total est obtenu en sommant les contributions modulaires de tous les états :
R_s = \bigoplus_{i=0}^{10} (x_i \oplus_T w_i)
- Enjeu : Cela permet d'obtenir une estimation globale qui prend en compte toutes les observations et leur importance respective.
- Preuve : En utilisant la propriété associative de l'opérateur trinitaire étendu :
R_s = (x_0 + w_0) + (x_1 + w_1) + ... + (x_{10} + w_{10})
Cela permet d'obtenir une estimation globale qui prend en compte toutes les observations et leur importance respective.
2. Analyse des Écarts (E_d )
2.1 Définition
L'analyse des écarts permet d'évaluer la différence entre les valeurs observées et attendues, tout en identifiant les zones d'incertitude ou de manipulation potentielle dans les données. Elle est définie par :
E_d = \sum_{i=0}^{10} \frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i}
où :
- E_i : Valeur attendue pour chaque état i $.
2.2 Variables et Indicateurs
1. E_i :
- Description: Valeur anticipée pour l'état i Ces valeurs peuvent être basées sur des prévisions historiques, des normes industrielles ou des objectifs stratégiques.
- Type : Variable discrète représentant une mesure standard ou cible.
- Exemple : Si pour l'état 2 on s'attend à une mesure de 5, alors E_2 = 5 . Cela signifie que la performance cible pour cet état est fixée à 5 unités.
Les valeurs attendues peuvent être établies par des études de marché ou des analyses antérieures qui fournissent un benchmark pour évaluer les performances.
2.3 Mécanisme
1. Soustraction Trinitaire :
- Pour chaque état i , on calcule la différence entre la valeur observée et la valeur attendue en utilisant l'opérateur de soustraction trinitaire :
x_i \ominus_T E_i = (x_i - E_i) \mod 11
- Enjeu : Cette opération permet d'obtenir une mesure de l'écart tout en maintenant la structure modulaire. Cela garantit que même si les valeurs observées sont inférieures aux attentes, le résultat reste conforme à l'ensemble trinaire.
Par exemple, si x_i = 3 et E_i = 5
x_i \ominus_T E_i = (3 - 5) \mod 11 = (-2) \mod 11 = 9
Cela montre que même si la valeur observée est inférieure à la valeur attendue, le résultat reste conforme au cadre du modèle.
2. Carré de la Différence :
- Pour quantifier l'écart, on élève au carré la différence obtenue :
(x_i \ominus_T E_i)^2
- Enjeu : Élever au carré accentue les écarts importants et élimine les signes négatifs. Cela signifie que des écarts plus grands auront un impact significatif sur le calcul final.
- Preuve : Par exemple, si nous avons calculé que x_3 \ominus_T E_3 = 9:
(9)^2 = 81
Cela signifie que cet écart aura un impact significatif sur le calcul final.
3. Normalisation par la Valeur Attendue:
- Chaque écart est ensuite normalisé par rapport à la valeur attendue :
\frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i}
- Enjeu : Cela permet d'évaluer la signification relative de chaque écart par rapport à ce qui était anticipé. Les écarts plus importants par rapport aux attentes sont ainsi mis en évidence.
4. Somme Totale des Écarts :
- L'analyse des écarts totale est obtenue en sommant tous les écarts normalisés :
E_d = \sum_{i=0}^{10} \frac{(x_i \ominus_T E_i)^2}{E_i}
Interprétation Globale de l'Opérateur Prédiction
L'opérateur prédiction permet d'obtenir deux résultats clés :
1. Résultat Suggéré (R_s ) :
- Une estimation qui prend en compte non seulement les données brutes mais aussi leur importance relative.
- Permet aux décideurs d'ajuster leurs stratégies basées sur une analyse plus complète des données disponibles.
2. Analyse des Écarts (E_d ) :
- Une mesure quantitative qui identifie où il existe une incertitude ou une manipulation potentielle dans les données.
- Aide à cibler les domaines nécessitant une attention particulière ou une réévaluation.
Validation Empirique et Exemples Concrets
Pour illustrer comment cet opérateur prédiction peut être appliqué dans divers contextes pratiques avec validation empirique, examinons quelques exemples concrets :
Exemple Concret dans l'Industrie du Recyclage
Contexte
Supposons qu'une entreprise spécialisée dans le recyclage collecte différentes matières recyclables (plastique, papier, métal). Les données suivantes sont disponibles :
| État | Observé ( x_i ) | Poids ( w_i ) | Attendu ( E_i ) |
| Plastique | 80 | 3 | 75 |
| Papier | 50 | 2 | 60 |
| Métal | 30 | 5 | 40 |
Calculs
1. Calculer le Résultat Suggéré ( R_s ):
Pour chaque état :
- Plastique:
R_{\text{plastique}} = x_{\text{plastique}} \oplus_T w_{\text{plastique}} = (80 + 3) \mod 11 = (83) \mod 11 = 6
- Papier:
R_{\text{papier}} = x_{\text{papier}} \oplus_T w_{\text{papier}} = (50 + 2) \mod 11 = (52) \mod 11 = 8
- Métal:
R_{\text{métal}} = x_{\text{métal}} \oplus_T w_{\text{métal}} = (30 + 5) \mod 11 = (35) \mod 11 = 2
Donc,
R_s = R_{\text{plastique}} \oplus_T R_{\text{papier}} \oplus_T R_{\text{métal}}
= (6 +8 +2 )\mod11=16\mod11=5
Le résultat suggéré total est donc R_s =5.
2. Calculer l'Analyse des Écarts ( E_d ):
Pour chaque état :
- Plastique:
E_{d,\text{plastique}} = \frac{(x_{\text{plastique}} \ominus_T E_{\text{plastique}})^2}{E_{\text{plastique}}}
= \frac{(80 -75)\mod11^2}{75}
= \frac{(5)^2}{75}
= \frac{25}{75}
= \frac{1}{3}
- Papier:
E_{d,\text{papier}} =\frac{(50-60)\mod11^2}{60}
=\frac{(-10)\mod11^2}{60}
=\frac{(1)^2}{60}
=\frac{1}{60}
- Métal:
E_{d,\text{métal}}=\frac{(30-40)\mod11^2}{40}
=\frac{-10\mod11^2}{40}
=\frac(1^2){40}
=\frac(1){40}
Donc,
E_d=E_{d,\text{plastique}}+E_{d,\text{papier}}+E_{d,\text{métal}}
=\frac(25/75)+\frac(1/60)+\frac(1/40)
=\frac(25/75)+\frac(4/240)+\frac(6/240)
=\frac(25*8+4+6)/240=\frac(200+4+6)/240=\frac210/240=\frac7/8
Conclusion pour l'Industrie du Recyclage
Dans cet exemple concret :
- Le résultat suggéré R_s =5 fournit une estimation intégrée qui tient compte non seulement des quantités observées mais aussi de leur importance relative.
- L'analyse des écarts E_d=7/8 indique qu'il existe un certain niveau d'incertitude ou d'écart par rapport aux attentes qui nécessite potentiellement une attention particulière.