Teorema di continuità di Kolmogorov

In matematica, il teorema di continuità di Kolmogorov è un risultato che garantisce che un processo stocastico che soddisfa alcune restrizioni sulla propria crescita è continuo (o, più precisamente, ammette una versione continua). Prende il nome dal matematico russo Andrej Kolmogorov.

Enunciato

Sia $X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ un processo stocastico, e supponiamo che esistano tre numeri $\alpha >0$ , $\beta >0$ e $K>0$ tali che

\mathbb {E} \left[|X_{t}-X_{s}|^{\alpha }\right]\leq K|t-s|^{1+\beta }

per ogni $s,t\in [0,+\infty )$ .

Allora esiste una versione continua di $X$ , ovvero esiste un processo ${\tilde {X}}$ continuo, tale che $X_{t}={\tilde {X}}_{t}$ quasi certamente per ogni $t$ . Inoltre, l'applicazione $t\to {\tilde {X}}_{t}$ è holderiana di esponente $\gamma$ per ogni $\gamma \leq {\frac {\beta }{\alpha }}$ .

Enunciato generale

Il teorema può essere generalizzato al caso in cui il processo non sia indicizzato solo su $[0,+\infty )$ .

Sia $D\subset \mathbb {R} ^{m}$ un aperto, e sia $(X_{y})_{y\in D}$ una famiglia di variabili aleatorie d-dimensionali su $\Omega$ . Supponiamo che esistano tre numeri $\alpha >0$ , $\beta >0$ e $K>0$ tali che

\mathbb {E} \left[|X_{y}-X_{z}|^{\alpha }\right]\leq K\|y-z\|^{m+\beta }

per ogni $y,z\in D$ .

Allora esiste una versione continua di $X$ , ovvero esiste una famiglia $({\tilde {X}}_{y})_{y\in D}$ tale che $X_{y}={\tilde {X}}_{y}$ quasi certamente per ogni $y\in D$ e tale che l'applicazione $y\to {\tilde {X}}_{y}$ è continua. Inoltre, $y\to {\tilde {X}}_{y}$ è anche holderiana di esponente $\gamma$ per ogni $\gamma \leq {\frac {\beta }{\alpha }}$ .^[1]

Esempi

Il teorema di continuità di Kolmogorov può essere usato per dimostrare che il moto browniano standard in $\mathbb {R} ^{n}$ ha una versione continua: basta scegliere $\alpha =4$ , $\beta =1$ e $K=n(n+2)$