【2024年】共通テスト数学ＩＡ 問題３ 場合の数と確率の解説（初学者向け）

2024年の共通テスト数学Ⅰ・数学Ａの問題３の場合の数と確率の解説です。

【問題文】2024年共通テスト数学ＩＡ（＝画像の出典元）

割とくだけた文章で書いていくので、最低限の解説で理解できる人は予備校の解説（個人的には東●が一番スマート）を見てくださいね。それではいきます！

【目標点】数学が苦手な人：12点、数学が得意な人：18点

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【(1)の解説】カードをn回取り出したときにA・Bがそろう確率

ここはサービス問題。誘導に乗っかるもよしですが、頭の中で、排反事象を思い浮かべることができた人は、楽勝だと思います。

(i)カードが2枚あるときに、2回の試行でA,Bがそろう確率

まずは書き出してみましょう。

{1回目, 2回目}={A, A}、{A, B}、{B, A}、{B, B}

そしたら4回の試行のうち、{A, B}、{B, A}の2つがA, Bがそろう事象なので、求める確率は

2/4=1/2

(ii)カードが2枚あるときに、3回の試行でA,Bがそろう確率

排反事象でやってもいいし、誘導に乗ってもいいです。

1回目	2回目	3回目
A	B	B
B	A	B
B	B	A

これで、うっかり3/2^3ってやったらダメですよ！下記のようにAが2つのパターンもお忘れなく。

1回目	2回目	3回目
A	A	B
A	B	A
B	A	A

なので、A, Bがそろう確率は6/2^3です。

もちろん、誘導を無視して下記のように考えてもOK。

1回目	2回目	3回目
A	A	A
B	B	B

求める場合の数は、3回の試行について、3回の試行すべてAの場合と3回の試行すべてBの場合の合計2通りの排反事象だから、2^3-2=6通り。

求める確率は、すべてAの場合とすべてBの場合の2通りの排反事象だから、(2^3-2)/2^3=6/2^3。

(iii)カードが2枚あるときに、4回の試行でA,Bがそろう確率

なぜか突然、誘導がなくなるので排反事象でやっちゃいましょう（こういうの謎だよね）。

※当然、地道に書き出してもいいけど表が3つ（Aが1つ、2つ、3つの場合が必要）になるので、面倒。

1回目	2回目	3回目	4回目
A	A	A	A
B	B	B	B

カードを取り出す4回の試行の総数は、2^4=16通り。

求める場合の数は、4回の試行について、4回の試行すべてAの場合と4回の試行すべてBの場合の合計2通りの排反事象だから、16-2=14通り。

求める確率は、14/16=7/8。

【(2)の解説】カードをn回取り出したときにA・B・Cがそろう確率

カードがA,B,Cの3枚に、最低試行回数(n回目)が3回にパワーアップしてますが、やるべきことは同じ。悪くても(ii)までは、手堅く得点したいところです。

(i)3回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方

3回目の試行で初めてA,B,Cがそろうということは、3回でA,B,Cが出る、さらに言い換えると3回ともABCバラバラのアルファベットが出るというのに等しいです。

取り出し方は、「3回ともA,B,Cをバラバラに取り出す＝A,B,Cを並び替えるのに等しい」と考えて、3!=6としてもよし。

「これくらいなら、書き出して確かめてやる！」と、図にしてもOKです。

1回目	2回目	3回目
A	B	C
A	C	B
B	A	C
B	C	A
C	A	B
C	B	A

いずれにしても、6通りが答えです。

(ii)4回目の試行で初めてA,B,Cがそろう確率

4回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方について、まさかでびっくりしちゃいますが、3×ウ=3×6=18通りと教えてくれています。

A,B,Cの３枚のカードを4回取り出すとき、総数は3^4=81通り。

したがって、求める確率は、18/81=2/9

【おまけ】4回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方の総数

4回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方の総数、つまりは”18通り”自体が、問になっていても何ら不思議ではないので、ついでに解説しておきます。

(1)(ii)で表を書かされた誘導の意味がわかります。

勘のいい人なら、「3回目までに2つアルファベットが出る。4回目に3つのうち、出なかった1つのアルファベットが出る」というのに気付くはず。

一例としては、A→A→B→C（3回目までにA,Bが出て、4回目に出なかったCが出る）が当てはまりますね。

すると、(1)(ii)で書いた表がもろに使えます。3回目までにA, Bが出る必要があるので、その後ろに”C”をつけてあげるだけで完成です。

1回目	2回目	3回目	4回目
A	B	B	C
B	A	B	C
B	B	A	C

1回目	2回目	3回目	4回目
A	A	B	C
A	B	A	C
B	A	A	C

4回目はA,B,CどれになってもOKなので、当てはまる取り出し方は、「3つのアルファベット×上の表（回答欄のウ）=3×6=18通りなんだよ」と、2024年は懇切丁寧に教えてくれています（なんてやさしい・・・）。

(iii)5回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方の総数と確率

5回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方の総数と確率。これも少し頭をひねればOKです。

(1)(iii)で、4回目の試行で初めてA,Bがそろう場合の数を出しています。

と思う人もいるかもですが・・・。

(2)(iii)も結局のところは、5回目まではCは出てこない、4回目にアルファベット2つが初めてそろうのと同じ考え方が使えます。5回目に残り1つが出ればOKというわけ。

なので、5回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方の総数は、

（4回目の試行で初めて2つのアルファベットがそろう取り出し方）×（5回目はA,B,Cの3つのいずれか）=14×3=42通り

5回目の試行で初めてA,B,Cがそろう確率は

（5回目の試行で初めてA,B,Cがそろう取り出し方の総数）／（5回の取り出し方の総数）=42/3^5

【(3)の解説】カードを6回取り出したときにA・B・C・Dがそろう確率（太郎さんと花子さんの登場）

まず怒りたいですが・・・。

正直、この導入部分、あってもなくても変わりありません( ｀ー´)ノ。

「3以上5以下の自然数n」うんぬんと書いてあるわりには、結局、6回目にA, B, C, Dが初めてそろう確率を誘導に沿って求めるだけでOKという何とも言えない気分。

さらに、たぶん受験生が全員嫌いな、共通テストおなじみの「太郎さんと花子さん」が話し合っているようです。今回は、わりと素直なので許してあげて。

3回目までにA, B, Cがそろって、６回目にDがそろう取り出し方の総数

やりたいことは、3回目までにA・B・Cがそろうのは(2)(i)で求めている。だから、4～6回目の取り出し方を求めれば、OKというもの。

つまりは、(3回目までにA, B, Cがそろう総数)×(4～6回目の取り出し方の総数)とすればよし。

3回目までにA, B, Cがそろっている前提としたとき、4回目と5回目は、D以外のA, B, Cから取り出すので、3^2=9通り。6回目はDで固定ですね。

3回目までにA, B, Cがそろう取り出し方は(2)(i)より6通り、4回目と5回目の取り出し方は9通り、６回目にDを取り出すので、6×9×1=54通りが答えです。

4回目までにA, B, Cがそろって、5回目にDがそろう取り出し方の総数

1つ前と同じ要領です。

4回目までにA・B・Cがそろうのは(2)(ii)で求めている。だから、5回目の取り出し方を求めれば、OKですね。

つまりは、(4回目までにA, B, Cがそろう総数)×(5～6回目の取り出し方の総数)とすればよし。

4回目までにA, B, Cがそろっている前提としたとき、5回目は、D以外のA, B, Cから取り出すので、3通り。6回目は相変わらず、Dで固定ですね。

4回目までにA, B, Cがそろう取り出し方は(2)(ii)より18通り、5回目の取り出し方は3通り、６回目にDを取り出すので、6×9×1=54通りが答えです。

6回目にA, B, C, Dが初めてそろう確率

この調子で、5回目までにA, B, Cがそろい、かつ6回目に初めてDが取り出される場合の数も求めます。

5回目までにA, B, Cがそろう総数は、(2)(iii)より42通り。6回目は固定でDなので、求める場合の数も42通りです。

を考えたのでこれでコンプリート。それぞれ独立事象なので足してあげると、54+54+42=150通りです。

そもそも論に戻りますが、6回目のアルファベットは、A, B, C, Dの4通りどれでもいい（さっきまでは、6回目にDを取り出すのを考えていた）ので、6回目にA, B, C, Dが初めてそろう取り出し方の総数は、150×4=600通り。

A, B, C, D 4枚のカードを6回の取り出とき、その取り出し方の総数は、4^6通りですね。

よって、6回目にA, B, C, Dが初めてそろう確率は、

600/4^6=(4×15×10)/(4×4×4×4×4×4)=(15×5)/(2×4×4×4×4)=75/512となります。