Entendendo as Principais Distribuições de Probabilidade
Fonte: Bing

Entendendo as Principais Distribuições de Probabilidade

Distribuições de probabilidade são modelos matemáticos que descrevem como as variáveis aleatórias se comportam. Essas distribuições podem ser divididas discretas e contínuas, a principal diferença entre elas está na natureza dos valores que a variável aleatória pode assumir. Existem várias distribuições de probabilidade, cada uma com suas próprias características e aplicações.

Neste artigo, discutiremos seis distribuições de probabilidade comuns: Bernoulli, Binomial, Poisson, Exponencial, Normal e Uniforme.

Distribuições Discretas

As distribuições discretas são um tipo de distribuição de probabilidade que descreve o comportamento de variáveis aleatórias discretas. As variáveis aleatórias discretas podem assumir um conjunto específico de valores isolados, geralmente inteiros, os valores possíveis são contáveis e geralmente estão separados por lacunas. Não há valores intermediários entre esses pontos.

Exemplos de distribuições discretas incluem a Distribuição de Poisson, Distribuição Binomial e Distribuição de Bernoulli.

Poisson

É uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.

Exemplo: Considere que passageiros chegam a um aeroporto a uma taxa média de três passageiros por segundo. A distribuição de Poisson pode ser usada para calcular a probabilidade de um determinado número de passageiros chegarem ao aeroporto em um intervalo de um segundo. Por exemplo, a probabilidade de exatamente 2 passageiros chegarem em um intervalo de um segundo é dada por P(X=2) = (λ^2 * e^-λ) / 2!, onde λ = 3 é a taxa média de chegada.

Binomial

Representa uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de sucessos em uma sequência de ensaios independentes, em que cada ensaio tem apenas dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. A distribuição binomial é frequentemente usada para modelar o número de sucessos em um número fixo de tentativas independentes

Exemplo: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e a probabilidade de cara seja p em cada lançamento. A distribuição binomial pode ser usada para calcular a probabilidade de obter um determinado número de caras nos 3 lançamentos. Por exemplo, a probabilidade de obter exatamente 2 caras é dada por P(X=2) = (3 C 2) p^2 (1-p)^1, onde (3 C 2) é o coeficiente binomial.

Bernoulli

É um modelo de distribuição de probabilidade discreta que descreve o resultado de um experimento aleatório que pode ter apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. A distribuição de Bernoulli é frequentemente usada para modelar experimentos com apenas duas opções, como o lançamento de uma moeda ou a resposta a uma pergunta sim/não.

Exemplo: Um exemplo clássico de uma experiência de Bernoulli é o lançamento de uma moeda. A moeda pode dar “coroa” com probabilidade p e “cara” com probabilidade 1-p. A experiência é dita justa se p = 1/2, indicando a origem dessa terminologia em jogos de aposta (a aposta é justa se ambos os possíveis resultados têm a mesma probabilidade).

Distribuições Contínuas

As distribuições contínuas são um tipo de distribuição de probabilidade que descreve o comportamento de variáveis aleatórias contínuas. As variáveis aleatórias contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo, os valores possíveis formam uma gama infinita de pontos que podem ser descritos por números reais. A função de densidade de probabilidade é usada para representar a probabilidade de uma variável aleatória contínua cair em um intervalo específico.

Exemplos de distribuições contínuas incluem a Distribuição Normal, Distribuição Exponencial e Distribuição Uniforme.

Normal

Também conhecida como distribuição gaussiana, é um tipo de distribuição contínua e simétrica que representa o comportamento de muitos fenômenos naturais. A distribuição normal é frequentemente usada para modelar variáveis contínuas que têm uma distribuição simétrica em torno da média.

Exemplo: Pressuponha que as alturas dos alunos em uma sala de aula seguem uma distribuição normal com média 170 cm e desvio padrão 10 cm. A distribuição normal pode ser usada para calcular a probabilidade de um aluno ter altura entre 160 cm e 180 cm. Por exemplo, essa probabilidade é dada por P(160 < X < 180) = Φ((180-170)/10) - Φ((160-170)/10), onde Φ é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Exponencial

É uma forma de distribuição contínua de probabilidade que representa o tempo entre dois eventos consecutivos em um processo de Poisson. A distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar o tempo entre falhas em sistemas confiáveis ou o tempo entre chegadas em filas.

Exemplo: Presuma que o tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas. A distribuição exponencial pode ser usada para calcular a probabilidade de não receber uma mensagem durante o período de duas horas. Por exemplo, essa probabilidade é dada por P(X>2) = e^(-λ * 2), onde λ = 1/2 é a taxa média.

Uniforme

É a mais simples das distribuições contínuas. Ela descreve uma variável aleatória que tem igual probabilidade de assumir qualquer valor dentro de um intervalo especificado. A distribuição uniforme é frequentemente usada para modelar variáveis aleatórias cujos valores são igualmente prováveis dentro de um intervalo especificado.

Exemplo: Suponha que o tempo que um ônibus leva para chegar ao ponto de ônibus segue uma distribuição uniforme entre 0 e 10 minutos. A distribuição uniforme pode ser usada para calcular a probabilidade do ônibus chegar em menos de 5 minutos. Por exemplo, essa probabilidade é dada por P(X<5) = (5-0)/(10-0) = 0,5.

Conclusão

Essas são apenas algumas das muitas distribuições de probabilidade disponíveis. Cada uma dessas distribuições tem suas próprias características e aplicações, e é importante escolher a distribuição correta ao modelar dados ou realizar análises estatísticas. Espero que este artigo tenha sido útil para você entender mais sobre essas seis importantes distribuições de probabilidade!


Referências: Livro: Probabilidade Aplicações à Estatística-2ª edição-Paul L. Meyer, Microsoft PowerPoint - Aula 7_Bernoulli_Binomial_Alunos.ppt [Modo de Compatibilidade] (ufpb.br), Distribuição Normal (Gaussiana) (ufsc.br) e Microsoft Word - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS BINOMIAL.docx (usp.br).

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