Ergodicidade em séries temporais em modelagem de dados do mercado

No decorrer dos meus estudos em modelagem de dados econômicos, consegui aprofundar um pouco no conceito de ergodicidade e neste artigo, quero compartilhar alguns insights e exemplos que me ajudaram a compreender melhor esse conceito

O que é ergodicidade?

Ergodicidade é um conceito que, em termos simples, relaciona as médias temporais de uma série temporal com as médias de conjunto de diferentes realizações do processo. Em outras palavras, se uma série temporal é ergódica, podemos usar uma única realização dessa série para inferir as propriedades estatísticas do processo completo. Isso é especialmente útil em finanças, onde frequentemente temos apenas uma única realização da série temporal de preços de um ativo.

Diferença entre Ergodicidade e estacionaridade

Antes de mergulhar nos exemplos, é importante distinguir entre ergodicidade e estacionaridade, dois conceitos que eu confundi no começo e não quero que vocês cometam esse erro:

• Estacionaridade: Um processo é estacionário se suas propriedades estatísticas, como a média e a variância, não mudam ao longo do tempo. Isso significa que o processo tem uma distribuição de probabilidae constante ao longo do tempo
• Ergodicidade: Um processo é ergódico se as médias temporais convergem para as médias de conjunto. Isso significa que uma única realização da série temporal é suficiente para representar as propriedades estatísticas do processo.

Vale ressaltar que nem todos os processos ergódicos são estacionários e vice-versa. Um exemplo clássico de um processo ergódico, mas não estacioário, é o passeio com drift.

Passeio aleatório com drift

O passeio aleatório com drift é um processo no qual o valor da série em cada ponto no tempo é a soma do valor anterior, um termo constante (drift), e um termo de ruído branco. Vamos ilustrar com o código a seguir:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
T = 1000  # Número total de pontos temporais
mu = 0.1  # Drift
sigma = 1 # Desvio padrão do ruído branco

# Gerar série temporal de passeio aleatório com drift
np.random.seed(42)  # Para reprodutibilidade
epsilon = np.random.normal(0, sigma, T)
y = np.zeros(T)
y[0] = 0  # Valor inicial

for t in range(1, T):
    y[t] = y[t-1] + mu + epsilon[t]

# Calcular a média temporal e a média de conjunto
mean_temporal = np.mean(y)
mean_theoretical = mu

# Dividir a série em janelas e calcular a média e variância de cada janela
window_size = 100
num_windows = T // window_size
window_means = [np.mean(y[i*window_size:(i+1)*window_size]) for i in range(num_windows)]
window_variances = [np.var(y[i*window_size:(i+1)*window_size]) for i in range(num_windows)]

# Comparar médias e variâncias
print(f"Média Total da Série: {mean_temporal}")
print(f"Média Teórica: {mean_theoretical}")
print(f"Médias das Janelas: {window_means}")
print(f"Variâncias das Janelas: {window_variances}")

# Plotar série temporal, médias e variâncias das janelas
plt.figure(figsize=(15, 5))

plt.subplot(1, 3, 1)
plt.plot(y, label='Série Temporal')
plt.title("Passeio Aleatório com Drift")
plt.xlabel("Tempo")
plt.ylabel("Valor")
plt.legend()

plt.subplot(1, 3, 2)
plt.plot(window_means, label='Médias das Janelas')
plt.axhline(y=mean_theoretical, color='r', linestyle='--', label='Média Teórica')
plt.title("Médias das Janelas vs. Média Teórica")
plt.xlabel("Janela")
plt.ylabel("Média")
plt.legend()

plt.subplot(1, 3, 3)
plt.plot(window_variances, label='Variâncias das Janelas')
plt.title("Variâncias das Janelas")
plt.xlabel("Janela")
plt.ylabel("Variância")
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()
        

Com o código que fizemos obtivemos os seguintes gráficos:

Resultados

1. Série temporal: O gráfico da série temporal mostra uma tendência ascendente, refletindo o drift da variável μ. Isso indica que a série não é estacionária, pois suas propriedades (média e variância) mudam ao longo do tempo.
2. Médias das janelas: As médias das janelas convergem para o drift μ, indicando que o processo é ergódico. Isso significa que, apesar da não estacionaridade, podemos usar uma única realização da série para inferir a média do processo
3. Variâncias das janelas: As variâncias das janelas aumentam ao longo do tempo, reforçando a não estacionaridade do processo.

Por que precisamos provar que uma série temporal é ergodica?

Provar que uma série temporal é ergódica é essencial porque muitos métodos de aálise e modelagem de séries temporais pressupõem a ergodicidade para garantir que as estimativas obtidas a patr de uma única realização da série sejam representativas das propriedades do processo subjacente. Em outras palavras, a ergodicidade assegura que as médias temporais convergem para as médias do conjunto.

Modelos que pressupõem Ergodicidades

Diversos modelos de séries temporais e técnicas de inferência partem do pressuposto de ergodicidade. Aqui estão alguns exemplo de modelos.

1. Modelos ARIMA: Os modelos ARIMA são amplamente utilizados para previsão e análise de séries temporais. Eles pressupõem que a série temoral é estacionária (ou pode ser transformada em estacionária através da diferenciação) e ergódica. A ergodicidade garante que os parâmetros estimados a partir de uma única realização da série sejam representativos do processo gerador.
2. Modelos GARCH: Utilizados para modelar a volatilidade de séries temporais financeiras, os modelos GARCH pressupõem ergodicidade para assegurar que as variâncias e covariâncias estimadas sejam estáveis e representativas.
3. Modelos de Processos de Markov: Em processos de MArkov ergódicos, as distribuições de estado estacionário são alcançáveis e independentes do estado inicial. Isso é crucial para muitas aplicações em finanças, economia e teoria de filas
4. Modelos de Cadeia de Markov Ocultas (HMM): HMM são utilizados em várias áreas, incluindo finanças e biologia, para modelar processos onde o estado subjacente não é diretamente observável. A ergodicidade assegura que a distribuição de estados estimada seja representativa do processo subjacente.
5. Testes de raiz unitária como o Testes como o Dickey-Fuller aumentados (ADF) e o KPSS são usados para verificar a estacionaridade de uma série temporal. A ergodicidade é pressuposta para garantir que as estatísticas do teste sejam válidas e representativas.

Conclusão

Provar que uma série temporal é ergódica é crucial para garantir a validade das inferências estatísticas feitas a partir de um única realização da série. Modelos como ARIMA, GARCH, processos de Markov e HMMs pressupóem a ergodicidade para que possamos assegurar que as previsões feitas sejam representativas do processo subjacente. Ao demonstrar a ergodicidade de uma série, asseguramos que nossas análises e modelos são confiáveis e robustos.