Cálculo estocástico – Wikipédia, a enciclopédia livre

Nota: Este artigo é sobre cálculo estocástico em geral. Para outros significados, veja Equações diferenciais estocásticas.

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Cálculo estocástico é um ramo da matemática que opera sobre processo estocásticos. Permite uma teoria coerente de integração a ser definida para integrais de processos estocásticos em relação a processos estocásticos. É usado para modelar sistemas que comportam-se aleatoriamente, mas com uma lei de probabilidade.

O processo estocástico mais conhecido ao qual é aplicado cálculo estocástico é o processo de Wiener (nomeado em homenagem a Norbert Wiener). Tal qual descrito por Louis Bachelier em 1900 e por Albert Einstein em 1905, o processo é utilizado para a modelagem de movimento browniano outros processos de difusão de partículas sujeitas a forças aleatórias. Desde os anos 70, os processos de Wiener vêm sendo amplamente aplicados em matemática financeira e economia para modelagem, por exemplo, de valores de ações na bolsa de valores.

O cálculo estocástico tem duas bases fundamentais: o cálculo de Itō e o cálculo de variações de Malliavin. Por razões técnicas, a integral de Itō é a ferramenta mais poderosa para os processos estocásticos no geral, porém a integral de Stratonovich é frequentemente usada na formulação dos problemas (em particular na área de engenharia). A integral de Stratonovich pode ser expressa em função da integral de Itō. A principal vantagem da integral de Stratonovich é que ela obedece a regra da cadeia usual e portanto não depende do lema de Itō. Isso permite que problemas sejam expressos numa forma invariante a sistema de coordenadas, o que é extremamente desejável quando se estuda cálculo estocástico em variedades que não estão no Rⁿ. O teorema da convergência dominada não se aplica à integral de Stratonovich, e portanto é muito difícil demonstrar resultados sem que a mesma seja re-expressa na forma de Itō.

Aplicações

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Uma aplicação muito importante de cálculo estocástico é em finança quantitativa, em qual os preços de ativos são frequentemente assumidos como seguindo movimento Browniano geométrico, formalizado em equações estocástica seguindo o modelo de Black-Scholes.

Referências

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Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). «Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks». Journal of Theoretical Probability. 22. 203 páginas. arXiv:0712.3908. doi:10.1007/s10959-007-0140-8 Preprint

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos

v d e Tópicos em matemática industrial e aplicada
Matemática computacional	Lógica computacional Projeto e análise de algoritmos Teoria da informação Teoria de códigos Criptografia
Matemática discreta	Álgebra computacional Teoria computacional dos números Combinatória Teoria dos grafos Geometria discreta
Física algébrica	Álgebra de operadores Física de partículas e teoria da representação Grupo de renormalização Integração funcional Teoria-M
Física analítica	Geometria diferencial Análise de Fourier Análise harmônica Análise funcional Teoria dos operadores
Análise	Teoria da aproximação Análise numérica Equações diferenciais Sistemas dinâmicos Teoria de controle Cálculo variacional
Teoria das probabilidades	Distribuições de variáveis aleatórias Processo estocástico Cálculo estocástico Integração funcional
Teoria da decisão	Estatística Pesquisa operacional Otimização Teoria dos jogos Economia matemática Matemática financeira
Outras aplicações	Aplicabilidade da matemática (filosofia) Biologia Química Psicologia Sociologia
Categoria Portal de matemática