Teorema de Prokhorov

Em teoria da medida, o teorema de Prokhorov relaciona o aperto das medidas à compacidade (e assim à convergência fraca) no espaço das medidas de probabilidade. Recebe este nome em homenagem ao matemático russo Yuri Prokhorov, que considerava medidas de probabilidade em espaços métricos separáveis completos. O termo "teorema de Prokhorov" é também aplicado a generalizações posteriores tanto às afirmações diretas, como inversas.^[1]

Afirmação do teorema

Considere $(S,\rho )$ um espaço métrico separável. Considere que ${\mathcal {P}}(S)$ denota a coleção de todas as medidas de probabilidade definidas em $S$ (com sua σ-álgebra de Borel).

O teorema de Prokhorov afirma que:

Uma coleção $K\subset {\mathcal {P}}(S)$ de medidas de probabilidade é apertada se e apenas se o fecho de $K$ for sequencialmente compacto no espaço ${\mathcal {P}}(S)$ equipado com a topologia de convergência fraca;
O espaço ${\mathcal {P}}(S)$ com a topologia de convergência fraca é metrizável;
Suponha que, além disso, $(S,\rho )$ é um espaço métrico completo (de modo que $(S,\rho )$ é um espaço polonês). Há uma métrica completa $d_{0}$ em ${\mathcal {P}}(S)$ equivalente à topologia de convergência fraca. Ademais, $K\subset {\mathcal {P}}(S)$ é apertada se e apenas se o fecho de $K$ em $({\mathcal {P}}(S),d_{0})$ for compacto.^[2]

Corolários

Para espaços euclidianos, temos que:

Se $(\mu _{n})$ for uma sequência apertada em ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})$ (a coleção de medidas de probabilidade em um espaço euclidiano $k$ -dimensional), então, há uma subsequência $(\mu _{n_{k}})$ e uma medida de probabilidade $\mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})$ , tal que $\mu _{n_{k}}$ converge fracamente a $\mu$ .
Se $(\mu _{n})$ for uma sequência apertada em ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})$ , tal que toda subsequência fracamente convergente $(\mu _{n_{k}})$ tem o mesmo limite $\mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})$ , então, a sequência $(\mu _{n})$ converge fracamente a $\mu$ .^[3]

Extensão

O teorema de Prokhorov pode ser estendido para considerar medidas complexas ou medidas sinalizadas finitas.

Suponha que $(S,\rho )$ é um espaço métrico separável completo e $\Pi$ é uma família de medidas complexas de Borel em $S$ . As seguintes afirmações são equivalentes:

$\Pi$ é sequencialmente compacta, isto é, toda sequência $\{\mu _{n}\}\subset \Pi$ tem uma subsequência fracamente convergente.
$\Pi$ é apertada e uniformemente limitada em norma de variação total.^[4]

Comentários

Já que o teorema de Prokhorov expressa o aperto em termos de compacidade, o teorema de Arzelà–Ascoli é frequentemente usado para substituir a compacidade: em espaços de função, isto leva a uma caracterização do aperto em termos do módulo de continuidade ou um análogo apropriado.^[3]^[4]

Há várias extensões profundas e não triviais ao teorema de Prokhorov. Entretanto, estes resultados não obscurecem a importância e a relevância das aplicações do resultado original.

Ver também

Métrica de Lévy–Prokhorov

Referências

↑ Prokhorov, Y. (1 de janeiro de 1956). «Convergence of Random Processes and Limit Theorems in Probability Theory». Theory of Probability & Its Applications. 1 (2): 157–214. ISSN 0040-585X. doi:10.1137/1101016
↑ Bogachev, Vladimir I. (15 de janeiro de 2007). Measure Theory (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540345145
↑ ^a ^b Dudley, R. M. (14 de outubro de 2002). Real Analysis and Probability (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521007542
↑ ^a ^b Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965

[1] Prokhorov, Y. (1 de janeiro de 1956). «Convergence of Random Processes and Limit Theorems in Probability Theory». Theory of Probability & Its Applications. 1 (2): 157–214. ISSN 0040-585X. doi:10.1137/1101016

[2] Bogachev, Vladimir I. (15 de janeiro de 2007). Measure Theory (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540345145

[:0-3] Dudley, R. M. (14 de outubro de 2002). Real Analysis and Probability (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780521007542

[:1-4] Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965

[1]

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[4]

v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos