INTERPRETACION DE LOS PARÁMETROS, CAMBIOS DE MEDIDA Y FORMA FUNCIONAL.

(MODELO DE REGRESIÓN LINEAL GENERAL)

Yi=B0+B1X1i+B2B2i+….+BkXki+ui                              i=1,2,…N

B1 mide el cambio esperado en la variable y con respecto a un cambio en la variable x1, manteniendo fijas el resto de variables regresoras (x2,x3,…xk).

B2 mide el cambio esperado en la variable y con respecto a un cambio en la variable x2, manteniendo fijas el resto de variables regresoras (x1,x2,…Xn).

Bk mide el cambio esperado en la variable y con respecto a un cambio en la variable Xk, manteniendo fijas el resto de variables regresoras (x1,x2,x3..xk-1).

En un modelo de regresión lineal la interpretación de los parámetros es clave. Gracias a la relación lineal entre la variable dependiente y las independientes, cada uno de los coeficientes de las variables independientes equivale a la derivada parcial de la variable dependiente con respecto a su correspondiente variable independiente:

dYi/dx1=B1

dyi/dx2i=B2

dyi/dXi=Bk

¿y cual es el significado de las derivadas parciales? La derivada parcial dyi/dx1j nos indica cómo varía la variable yi cuando incrementamos en una unidad la variable x1i, manteniendo las demás variables constantes.

Por lo tanto, obtenemos el resultado que habíamos descrito anteriormente: B1 mide el efecto en la variable x1i, manteniendo las demás variables independientes constantes. El parámetro B2 mide el efecto en la variable dependiente y1 de incrementar una unidad la variable independiente x, manteniendo las demás variables independientes constantes. Y así sucesivamente.

En conclusión, los coeficientes en el modelo de regresión lineal miden los efectos marginales (pequeños cambios) en la variable dependiente de las variables regresoras. Y una característica del modelo de regresión lineal es que los efectos marginales de las variables regresoras son constantes, es decir, igual para todos los individuos de la población.

EJEMPLO

Sobre el nivel de educación de los hijos en función del nivel de educación de los padres

Educhi=B0+B1educm+B2educp+u

En este modelo, B1 representa el efecto en la educación de un hijo de un año más en la educación de la madre, manteniendo constante el nivel de educación del padre. Y B2 representa el efecto en la educación de un hijo de un año más en la educación del padre, manteniendo constante el nivel de ecucación de la madre.

Los valores estimados de B’=[B0,B1,B2] nos proporcionan estimaciones de los efectos marginales en la variable explicada de las variables explicativas.

De una muestra de 100 familias se estima el modelo anterior obteniendo como estimación:

Educh=8+0,5educm-0,7educp

Los resultados de la estimación la interpretaríamos de este modo:

*Un año más en la educación de la madre se estima que incrementaría en medio año más la educación del hijo, manteniendo la educación del padre constante. O equivalente para dos familias A y B en las que los padres tienen el mismo nivel de educación, y en la familia A la madre tiene un año más de educación que la madre en la familia B, entonces el hijo en la familia A tendrá medio año más de educación que el hijo en la familia B.

Un año más en la educación del padre produciría una disminución estimada de 0,712=8,4 meses (recuerda que nuestros datos están en años) menos en la educación de los hijos matneniendo la educación de la madre constante. O equivalente, para dos familias A y B en las que las madres tienen el mismo nivel de educación y el padre en la familia A tiene un año más de ducación que el padre en la familia B, entonces el hijo en la familia A tendrá 8,4 meses menos de educación que el hijo en la familia B.

Todos estos resultados están basados en la muestra tomada, por eso cuanto mayor sea la muestra y de manera más aleatoria posible, más generalizable serán los resultados.

CAMBIOS DE MEDIDA

A la hora de interpretar los parámetros hay que tener en cuenta las unidades de medida de las variables, tanto las independientes como la dependiente. Si cambiamos la unidad de medida de una variable independiente o de la variable dependiente, los coeficientes en general, se podrán ver efectos.

EJEMPLO

Consideremos un modelo de regresión lineal del salario en función de la experiencia y de los años de educación de un grupo de personas.

Salario=B0+B1exper+B2educ+u

Donde el salario es el salario mensual medido en euros, la experiencia está medida en años y la educación también en años.

Estimamos el modelo a partir de una muestra de 100 individuos y obtenemos la estimación:

Salario=-273+17,6experi+76,2 educ

Según nuestra estimación, un año más de experiencia, manteniendo el nivel de educación constante, supone un aumento estimado de 17,6 euros. Mientras que un año más de educación, manteniendo los años de experiencia  constante, supone un aumento estimado de 76,2.

¿qué pasaría si cambiáramos la unidad de medida de la experiencia, y en vez de en años se midiera en meses? El modelo de regresión lineal tiene la ventaja de que ante un cambio de medida no es necesario volver a hacer las estimaciones desde el principio, sino que a partir de una estimación ya realizada se pueden calcular lo snuevos valores de los parámetros para al nueva unidad de medida.

FORMA FUNCIONAL

En el modelo de regresión lineal podemos considerar relaciones no lineales entre las variables, ya que cuando hablamos de regresión lineal, se refiere a la linealidad en los parámetros.

FORMA FUNCIONAL

Los siguientes modelos cumplen el supuesto de linealidad

ln(salario)= B0+B1experi+B2educ+ui

Salarioi=B0+B1ln(exper)+B2educ+u

Salarioi=B0+B1exper+B2educa+u

A pesar de que la relación entre algunas de las variables explicativas y la variable dependiente no sea lineal.

Es importante tener en cuenta la forma en la que aparecen las variables para interpretar los coeficientes estimados.

EJEMPLO:

Ln(salario)=B0+B1experi+B2educ

Cuando una variable aparece con logaritmos, la variación de esa variable van a ser cambios porcentuales en vez de cambios unitarios. Las estimaciones se interpretan del siguiente modo:

Un año más de experiencia supondrá un cambio de un (100B1)% en el salario, manteniendo el nivel de educación constante.

 Un año más de educación supondrá un cambio de un (100B2)% en el salario, manteniendo los años de experiencia constante.

 Considera que a  partir de una muestra se obtiene la siguiente estimación:

ln(salario)=5.50+0.08exper+0,020educ

Un año más de experiencia supondrá un incremento del 8% en el salario, manteniendo el nivel de educación constante.

Un año más de educación supondrá un incremento del 2% en el salario, manteniendo los años de experiencia constante.

Conclusión: no estudies.