Monty Hall et Probabilités
Le problème de Monty Hall est à la fois simple mais particulièrement déroutant au premier abord. Le nom provient du nom d'un animateur TV qui présentait un jeu "let's make a deal" et qui se déroulait ainsi:
Le jeu est composé de 3 portes derrière lesquels figurent 2 chèvres et une voiture. Le but du jeu est évidement de gagner la voiture. Les portes sont présentées fermées et le joueur doit en choisir une parmi les 3.
Dans cet exemple le joueur à choisit la porte 3, il a une chance sur trois de trouver la voiture du premier coup. A cet instant le présentateur qui lui sait où se trouve la voiture va ouvrir une porte derrière laquelle il y a une chèvre.
Maintenant le présentateur demande au joueur si il veut ou non changer son choix!!! Que doit-il faire!!? Instinctivement on a tendance à dire que cela ne change rien à l'affaire mais en fait si... Les probabilités montrent que si le joueur change son choix il passe d'une probabilité 1/3 à une probabilité 2/3. Le Wiki bien documenté ici Wiki Monty Hall
Dans le cas que nous avons choisi le joueur n'a pas intérêt à changer mais nous sommes dans le cas particulier où il avait bon du premier coup.
Cas je ne change pas de choix
Bon là dans notre exemple je gagne mais je n'avais que 1/3 chance de gagner
Cas je change de choix
- Ici je perds car j'aurais ouvert la porte 1
- Imaginons que j'ai choisi la porte 1, le présentateur ouvre 2 et je choisis 3 donc je gagne
- Imaginons que j'ai choisi la porte 2, le présentateur ouvre 1 et je choisis 3 donc je gagne aussi
Bilan, dans 2 cas sur 3 je gagne, cqfd
Ce qui est intéressant ici c'est que la simulation informatique permet de bien visualiser ce résultat probabiliste qui est flagrant après un grand nombre de tirages. La nature pseudo aléatoire de la fonction rnd ne perturbe pas trop les résultats.
Simulation 10 tirages
Après 10 tirages le changement de choix est déjà payant puisqu'il remporte 60% des gains, il est gagnant à chaque lancement de simulation mais avec une volatilité importante à cause du faible nombre de tirages.
Simulation 100 tirages
Après 100 tirages les résultats sont nets avec un résultat qui converge vers 33% pour le jeu sans changement de choix et 66% pour le jeu avec changement de choix ce qui confirme la probabilité 1/3, 2/3.
Simulation 1000 tirages
Après 1000 tirages la tendance est confirmée, le delta montre la stabilité du résultat.
Le document Excel permettant la simulation.