8° Ciência semanal - N° dimensão ainda é algo atual?
Davi J Leite Santos
Initiative | Cybersecurity | Network Analysis | Business Management | Developer
Nas últimas duas semanas, mergulhei em um estudo que considero quase pessoal. Foi algo intrigante, novo, e raramente discutido atualmente; poderia até dizer que é um assunto esquecido. Enquanto assistia "Animation vs. Math", uma animação que apresenta representações matemáticas de forma icônica, fiquei fascinado ao ver como a quarta dimensão foi ilustrada numericamente.
Essa experiência despertou em mim o desejo de representar conceitos de dimensões superiores de uma forma compreensível e visualmente interessante, algo que encontrei pouca informação na internet. Foi assim que cheguei às "N dimensões" e suas projeções, e é sobre isso que este artigo se debruça.
O que são N Dimensões?
Compreender o conceito de dimensões é como explorar um universo de possibilidades matemáticas e físicas que moldam nossa percepção da realidade. Imagine que cada número representa uma posição em algum lugar, e essa posição está sempre relacionada a uma distância específica. Esta distância pode ser vista de diversas maneiras: no espaço, onde medimos em metros ou quilômetros, e no tempo, onde contamos em segundos ou anos. No entanto, as dimensões não se limitam a estas duas; elas são mais versáteis e intrigantes, estendendo-se para outras áreas que inicialmente podem não parecer tão óbvias.
Pense nas dimensões como as diferentes maneiras pelas quais podemos medir ou categorizar o mundo ao nosso redor. Por exemplo, em um texto, podemos medir a distância entre palavras não apenas pelo espaço físico que ocupam na página, mas também pelo significado e a relação entre elas. Da mesma forma, na culinária, podemos criar uma dimensão imaginária onde medimos a quantidade de macarrão em comparação ao feijão em um prato. Cada um desses exemplos ilustra como as dimensões podem ser aplicadas em contextos variados, ajudando-nos a entender e a organizar informações de maneiras que vão além das nossas percepções cotidianas.
Ao expandirmos nossa visão para incluir essas dimensões adicionais, começamos a ver o mundo com uma nova profundidade e complexidade. Cada dimensão adiciona uma camada de compreensão, permitindo-nos criar modelos e teorias mais ricos e detalhados. Seja medindo a proximidade emocional em uma conversa ou calculando as variáveis em um experimento científico, as dimensões oferecem uma estrutura para explorar e decifrar o que, de outra forma, poderia parecer caótico ou incompreensível. Assim, ao abraçar o conceito de dimensões, mergulhamos em um universo onde a matemática e a criatividade se encontram, revelando a beleza oculta nas complexidades do nosso mundo e mostrando assim suas representações.
Distâncias e Suas Representações
As distâncias podem ser representadas por números ou conjuntos de números, que formam sequências e padrões. Dentro desse contexto, existem diferentes tipos de distâncias, cada uma com sua própria aplicação e significado.
A primeira delas que irei discurtir sobre, é a distância de Hamming, que é uma métrica que mede a diferença entre duas sequências de igual comprimento. Ela é o número de posições nas quais os elementos das sequências diferem. Historicamente, essa métrica foi utilizada para medir a distância genética, oferecendo uma maneira genérica de representar a dissimilaridade entre pontos.
Ou seja, é de maneira simples de falar, é uma forma que os matematicos arrumaram para representar qualquer distancia em qualquer quantidade de dimensões.
Agora, podem acreditar que estou esquecendo a principal utilizada nos dias de hoje, mas não, éssa é a distância cartesiana, que é amplamente utilizada em geometria, trigonometria, e várias outras áreas que envolvem análise de pontos e gráficos numéricos. É a base para a criação de gráficos que representam dados quantitativos. No entanto, quando tratamos de dimensões superiores, a representação e a interpretação tornam-se mais complexas.
Desafios das Representações de Dimensões Superiores
Representar dimensões superiores, como a quarta dimensão ou além, envolve desafios únicos. Na animação "Animation vs. Math", as matrizes foram apresentadas de uma maneira que abriu novas perspectivas para mim, mas ainda deixava lacunas em termos de visualização clara e compreensível. A matemática nos fornece as ferramentas para trabalhar com essas dimensões, mas transformar essas representações em algo visualmente intuitivo ainda é um campo em desenvolvimento. Eu poderia citar varios links que vi durante essa pesquisa:
Todos esses links, podemos dizer que são a base dessa pesquisa, mas que claramente existem muitos outros. Tais como artigos:
Eu sei, eu sei, varias vezes podem chegar nesse artigo, simplesmente para pegar os links e estudarem, então já deixei eles aqui para ficar de forma mais simples. vamos seguir agora.
Como representar essas dimensões?
Projeções de Dimensões Superiores
Para podermos compreender e visualizar dimensões superiores, utilizamos o conceito de projeção. A projeção é uma técnica matemática que nos permite representar objetos de dimensões superiores em dimensões inferiores, de forma que possamos visualizá-los e analisá-los em nosso plano tridimensional ou até mesmo bidimensional.
O que é Projeção?
Projeção, em termos simples, é o mapeamento de pontos de um espaço de maior dimensão para um espaço de menor dimensão. Pense na projeção como a sombra de um objeto tridimensional em uma parede bidimensional. Embora a sombra não capture toda a informação do objeto original, ela nos oferece uma representação simplificada que ainda carrega algumas características essenciais.
Um belo exemplo disso, seria caso pergamos um cubo de vidro e colocarmos perfeitamente uma luz em cima dela, para vermos a sombra dele logo em baixo. Essa sombra seria um quadrado apenas, porem caso mudarmos a pespectiva da luz, poderiamos ver os vertices desse cubo e assim entendermos como seria esse cubo em uma "bi-dimensão rsrsrs".
Tipos de Projeção
Existem vários tipos de projeções que podemos utilizar para representar dimensões superiores. Cada uma tem suas próprias características e aplicações:
Projeção de N Dimensões
Para projetar um objeto de N dimensões em nosso espaço tridimensional ou bidimensional, utilizamos técnicas que transformam as coordenadas de alta dimensão em coordenadas de menor dimensão, preservando ao máximo as características essenciais do objeto original. Por exemplo, ao projetar um hipercubo (um cubo de quatro dimensões) em três dimensões, obtemos uma estrutura conhecida como tesserato.
Aplicações das Projeções
As projeções de dimensões superiores têm várias aplicações em diferentes áreas:
Geometria e Matemática: Ajuda a compreender e visualizar estruturas complexas e suas propriedades.
Física Teórica: Utilizada para representar e analisar teorias envolvendo múltiplas dimensões espaciais e temporais.
Computação Gráfica: Essencial para a criação de efeitos visuais e animações que simulam dimensões superiores.
Data Science: Projeções são usadas para reduzir a dimensionalidade de conjuntos de dados, facilitando a visualização e a análise.
Para poder representar isso de alguma forma, desenvolvi alguns algoritmos que combinam geometria, matemática, física e computação gráfica para criar imagens que exploram diferentes dimensões. A seguir, apresento uma descrição detalhada de cada uma dessas imagens.
Nesta imagem, apresento representações de até três dimensões diferentes: a primeira, segunda e quarta dimensões. Optei por não representar a terceira dimensão por ser algo intuitivo.
Primeira Dimensão: Representa um ponto movendo-se linearmente, resultando em uma linha.
Segunda Dimensão: Quando movemos essa linha em uma direção circular, obtemos um circulo.
Quarta Dimensão: Na quarta dimensão, visualizamos um cubo dentro de outro, com pontos interligados. Se traçarmos um caminho usando diferentes pontos, como determinado por um algoritmo de Monte Carlo, a forma resultante vista de lado é a projeção do tesseract.
Esta imagem mostra o hipercubo (ou tesseract) de lado. À primeira vista, parece que os quadrados estão um dentro do outro, mas na realidade, cada quadrado pode estar em qualquer posição dentro do espaço de quatro dimensões. É importante notar que, embora as arestas pareçam ter comprimentos diferentes, na verdade, todas são iguais, mantendo a consistência necessária para se chamar de quadrado.
Construção do Tesseract:
Como não conseguimos visualizar diretamente a quarta dimensão, a representamos como um cubo interno ligado ao cubo externo por arestas "deformadas" pela perspectiva, semelhantes a troncos de pirâmide. Resumo das Propriedades do Cubo em Diferentes Dimensões (Vale lembrar que essas caracteristicas podem ser encontradas em Teoria de Grafos) em relação a formação dele:
Cubo 3D:
Tesseract 4D:
Importante comentar, que a possibilidade de tentar realmente ver imagens de dimensões superiores nas projeções, é por meio do movimento delas. Ao projetarmos o tesseract em um espaço de dimensão inferior, todas as suas faces cúbicas, exceto as "externas" e "internas", aparecem deformadas. Representamos a quarta dimensão como um cubo dentro de outro, onde as faces intermediárias são vistas como troncos de pirâmide.
Nesta imagem, apresento uma forma de representar quatro dimensões linearmente em uma única dimensão. Esta representação linear é uma das maneiras de visualizar dimensões superiores, mostrando sobreposições de faces possíveis em duas dimensões. Esse conceito é útil, inclusive, para compreender estruturas como a "Garrafa de Klein", um objeto famoso por se auto-intersectar sem se tocar.
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A Garrafa de Klein é um exemplo fascinante de uma superfície não orientável. Diferente de uma esfera, que tem um interior e um exterior distintos, a Garrafa de Klein se intersecciona de uma maneira que a torna um objeto de quatro dimensões representado em três dimensões, sem bordas e sem um "lado de dentro" ou "lado de fora" distinguíveis.
Estilos diferentes de analise, é o possivel?
Projeção 1D:
Nesta projeção, vemos uma representação de um caminho traçado em uma única dimensão. Esta projeção linear demonstra como um ponto pode se mover ao longo de uma linha reta, o que é essencialmente a interpretação mais simples de movimento em uma dimensão espacial.
Projeção 2D:
Aqui, o caminho é representado em duas dimensões espaciais. Podemos ver como o ponto se move em um plano, adicionando complexidade ao movimento que agora pode ser traçado em diferentes direções dentro deste plano. Esta visualização começa a capturar a sobreposição e interseção de caminhos, uma propriedade essencial quando começamos a explorar dimensões superiores.
Projeção 3D:
A projeção tridimensional mostra um caminho traçado no espaço 3D. Esta visualização é mais rica e permite perceber como o ponto se move em todas as três dimensões espaciais. Esta complexidade adicionada ajuda a visualizar conceitos de movimentos e posições que são a base para compreender a quarta dimensão.
Projeção 1D:
Nesta projeção, a trajetória é novamente representada em uma única dimensão. Aqui, além do movimento espacial, podemos inferir uma mudança temporal, onde a posição do ponto ao longo da linha também pode representar o tempo.
Projeção 2D:
A projeção em duas dimensões inclui tanto componentes espaciais quanto temporais. Esta visualização permite ver como o ponto se move não apenas através do espaço, mas também ao longo do tempo, dando uma noção de como esses dois elementos se inter-relacionam.
Projeção 3D:
Esta última projeção mostra a trajetória em um espaço tridimensional, onde duas dimensões são espaciais e a terceira é temporal. Esta combinação oferece uma visualização mais complexa e detalhada de como o ponto se movimenta ao longo do tempo enquanto ocupa diferentes posições no espaço.
Contextualização Adicional
Ao explorarmos essas projeções, estamos visualizando como diferentes dimensões interagem e se manifestam. A primeira imagem explora a complexidade do espaço tridimensional e como ele pode ser representado de formas mais simples. A segunda imagem, ao incluir a dimensão temporal, adiciona um novo nível de compreensão sobre como objetos e pontos podem se mover não apenas através do espaço, mas também ao longo do tempo.
Este tipo de visualização é fundamental para entender conceitos de física teórica e computação gráfica, onde a manipulação de dimensões superiores pode revelar novas propriedades e comportamentos de sistemas complexos. É uma abordagem poderosa que permite cientistas e engenheiros visualizarem e entenderem melhor os fenômenos multidimensionais, além de encontrar soluções inovadoras para problemas complexos.
Github desse projeto: davijls9/Algoritmo_monte_carlos_-_4_Dimensoes: Algoritmo_monte_carlos_-_4_Dimensoes (github.com)
Análise Dimensional e Suas Aplicações em Ciência, Pesquisa e Mercado - Pesquisas recentes
Essa análise dimensional é uma ferramenta poderosa que pode transcender diferentes campos do conhecimento, permitindo a interpretação e visualização de dados complexos em diversas dimensões. A compreensão de múltiplas dimensões é fundamental não apenas na ciência e na pesquisa, mas também no mercado, onde a análise de dados se torna cada vez mais sofisticada.
Dimensões Temporais e Espaciais
A análise de dados pode ser segmentada em dimensões temporais e espaciais. Dimensões temporais são frequentemente utilizadas quando se lida com séries temporais ou dados que variam ao longo do tempo. Por exemplo, no mercado financeiro, a análise de ações envolve o rastreamento do valor ao longo de várias dimensões temporais para prever tendências futuras.
Por outro lado, dimensões espaciais são usadas para analisar dados que têm uma componente geográfica ou espacial. Em estudos científicos, como a modelagem magneto-hidrodinâmica (MHD), as simulações em três ou mais dimensões espaciais são cruciais para entender fenômenos físicos complexos, como a interação de campos magnéticos em plasmas espaciais.
Pesquisa recente:
Aplicações em Ciência e Pesquisa
Na ciência, especialmente na física e na engenharia, a análise dimensional permite simulações e modelos mais precisos. No estudo da MHD, por exemplo, a adaptação de malhas em diferentes dimensões permite economias significativas em tempo de computação e recursos, ao mesmo tempo em que proporciona uma representação precisa das estruturas estudadas. Isso é essencial para modelar fenômenos como a dinâmica de fluidos em presença de campos magnéticos, que tem aplicações diretas na previsão do clima espacial e na pesquisa sobre a magnetosfera terrestre.
Pesquisa recente:
Análise de Componentes Principais (ACP)
Outra aplicação importante é a Análise de Componentes Principais (ACP), uma técnica estatística utilizada para reduzir a dimensionalidade dos dados. Na ACP, um grande número de variáveis correlacionadas é transformado em um conjunto menor de variáveis independentes chamadas de componentes principais. Essa técnica é amplamente utilizada em estudos ambientais, populacionais e de qualidade, onde a simplificação dos dados é crucial para interpretar padrões e tendências.
Pesquisa recente:
Aplicações no Mercado
No mercado, a análise dimensional é essencial para a visualização de dados complexos de forma compreensível. As empresas utilizam análise multivariada para segmentação de mercado, identificação de padrões de consumo e previsão de tendências. Ferramentas como a análise de cluster e a ACP permitem às empresas tomar decisões baseadas em dados, melhorar suas estratégias de marketing e aumentar a eficiência operacional.
Pesquisa recente:
Conclusão
A análise dimensional é uma ferramenta essencial tanto na ciência quanto no mercado. Sua capacidade de simplificar, visualizar e interpretar dados complexos torna-a indispensável para avanços em pesquisa e para a competitividade no mercado. Com o uso de técnicas como a ACP e a modelagem multidimensional, podemos explorar novas fronteiras do conhecimento e melhorar nossas decisões com base em dados robustos e bem interpretados.
Na física teórica, por exemplo, teorias como a Teoria das Cordas sugerem que o universo pode ter até 11 dimensões, muitas das quais são imperceptíveis aos nossos sentidos. Na matemática, o estudo de espaços multidimensionais permite resolver problemas complexos e modelar fenômenos em diversas disciplinas, desde a economia até a inteligência artificial. Além disso, a análise de dados em N dimensões é crucial em campos como o aprendizado de máquina, onde algoritmos exploram múltiplas variáveis para fazer previsões precisas.
E respondendo a pergunta do artigo, SIM, as N dimensões continuam sendo um tópico atual e fascinante tanto na matemática quanto na física e em outras áreas do conhecimento. Portanto, o conceito de N dimensões não só é relevante, mas também essencial para o avanço do conhecimento e da tecnologia em nossa sociedade moderna.
Referências
Estas referências fornecem uma base sólida para entender as aplicações práticas e teóricas da análise dimensional, oferecendo insights valiosos para quem deseja aprofundar seus conhecimentos na área.