Limites e continuidade - O que mudou no novo Programa Matemática
+ Em primeiro lugar ,gostava realçar que apenas vou abordar o tema do ponto vista prático.Ou seja,muitos dos problemas das duas versões serão postas de lado,assim como a opinião mais consistente e rigorosa de cada definição (deixando de lado uma escolha de qualquer opção).
# Noção de Ponto de Acumulação,ponto isolado e Ponto de aderente
Um número c diz-se ponto de acumulação de conjunto A se e só se em qualquer vizinhança de centro c existe pelo menos um elemento de A diferente de c.
Um ponto de acumulação de A pode pertencer ou não a A; um ponto de A pode ser ou não ponto de acumulação de A; Pode-se provar que a é um ponto de acumulação do conjunto A se e só se existe uma sucessão de elementos de A, diferentes de a, que tende para a.
Um número c é um ponto isolado de A se e só se não for ponto de acumulação.
Um número c é um ponto aderente de A ,se A intersectado com ]c-p;c+p[ (p>0) é diferente do vazio
#Limite (x->a)
No programa anterior calculávamos os limites da função por valores diferente de a (apenas calculávamos em pontos de acumulação do domínio,ou seja optava-se pelo que vulgarmente se dizia "limite por valores muito perto de a,mas diferentes ") .O novo programa inclui a definição de limite segundo Heine, mas com uma diferença fundamental:-De entre as sucessões consideradas no domínio da função, que tendem para o valor 𝒂, passam a ser incluídas aquelas que assumem valor 𝒂.Vamos agora identificar os pontos aderentes do domínio para calcular os limites.
#Continuidade em a
No antigo programa,a continuidade era definida por: Seja a um ponto de acumulação do domínio de f e pertencente ao Domínio: Diz-se que a função f é contínua no ponto a se e só se existir o limite de f quando x tende para a,e o valor desse limite coincide com o valor da função no ponto a.
Nota : Referiu-se que o ponto a pertence ao domínio da função, logo não faz sentido falar em continuidade num ponto que não pertence ao domínio da função. Também não falamos em continuidade (averiguar a continuidade,entenda-se) em pontos isolados do domínio, visto que considerámos a um ponto de acumulação do domínio .Se a é um ponto isolado do Domínio então a função é continua em a (isto estava um pouco omisso no antigo programa,fugindo desta abordagem nos conteúdos e exercícios,sendo este um dos pontos de partida para a alteração de programa).
A definição de continuidade no novo programa:1. justificar, dada uma função real de variável real f e um ponto a do respectivo domínio que se o limite lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe então é igual a 𝑓(𝑎); 2. Designar, dada uma função real de variável real f e um ponto a do respectivo domínio, a função f por “contínua em a” quando o limite (lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)) existe.Ou seja ,na pratica analítica,verificar se existe limite (existência de limite segundo o novo programa) no ponto a, se existir o seu valor é 𝑓(𝑎),e a função é continua.