論證可分成形式論證 (formal argument) 和非形式論證 (informal argument) ，以這個非形式論證為例︰

所有人都會死
所有會死的都是動物
因此，所有人都是動物

定言三段論、命題邏輯、述詞邏輯分別將它翻譯成不同的形式論證︰

最初的論證「所有人都會死，所有會死的都是動物，因此，所有人都是動物」是用日常語言表達，直覺上前提保證結論為真，是對確論證 (valid argument) 。此時的直覺不依賴任何形式系統，是系統外對確 (extra-systematic validity) 。

相反，系統內對確 (system-relative validity) 則取決於邏輯系統的設定。將最初的非形式論證翻譯成定言三段論的「All S are M, All M are P /∴ All S are P」後，檢查系統設定，不難發現它在定言三段論是對確的。將同一個非形式論證翻譯成命題邏輯，卻成了「A, B /∴ C」，由於「A」、「B」、「C」都是簡單命題，根據命題邏輯的設定，可任意分配為真或為假，所以翻譯之後在命題邏輯是不對確的論證。述詞邏輯的翻譯與定言三段論、命題邏輯都要不同，在述詞邏輯的設定底下，「∀x(Hx→Mx), ∀x(Mx→Fx) /∴ ∀x(Hx→Fx)」是對確的論證。

參照 Susan Haack (1978, pp.16-26) 的分類，我們可將上述整個過程涉及的三個元素列出︰

這三個元素分別是：非形式論證、符號表達（翻譯過程）以及形式論證。邏輯系統的演變和革新，許多時候就是在於這三個元素。

判斷邏輯系統是否恰當，往往在於三個元素之間的平衡。一方面，有個系統外對確或不對確的非形式論證，另一方面，邏輯系統成功將非形式論證翻譯成系統內對確或不對確的形式論證。假如被判斷為對確的非形式論證翻譯後變不對確，或者被判斷為不對確的非形式論證確翻譯後變成對確論證，便可能在三個地方出問題：

  1. 邏輯系統有問題，需要修改邏輯系統；
  2. 原本的判斷有問題，需要修正原本的判斷；
  3. 翻譯過程有問題，需要調整翻譯方法。

甲︰邏輯系統有問題，需要修改邏輯系統

考慮一個經典列子︰

(A)
所有人都會死
蘇格拉底是人
因此，蘇格拉底會死

嚴格而言，定言三段論 (categorical syllogism) 無法處理這個論證，因為一來「蘇格拉底是人」和「蘇格拉底會死」不是定言命題 (categorical proposition) ，二來若果勉強將這兩個命題譯成定言命題，整個論證仍會違反三段論只有三個定言命題的限制。然而， (A) 顯然是系統外對確的，所以我們修改定言三段論，使得擴充後的三段論系統可以翻譯這個論證，並將之判定為系統內的對確論證。

All S is P
a is S
/∴ a is P

然而，無論定言三段論如何擴充，也難以處理這個非形式論證︰

(B)
所有馬都是動物
因此，所有馬的頭都是動物的頭

由於定言三段論沒有相應的對確形式論證可以處理 (B)，促使後來的邏輯學家放棄三段論系統。

(A) 和 (B) 的例子中，由於我們有強烈直覺認為那它們都是對確論證，所以修改甚至放棄定言三段論系統，屬於第一類「邏輯系統有問題，需要修改邏輯系統」的情形。

乙︰原本判斷有問題，需要修正原本判斷

第二類例子也不罕見，例如最有名的是其中一種宿命論論證 (argument for fatalism) ，以 Priest (2000) 的版本為例：

(C)
考慮一件關於未來的事：我明天被車子撞死。要麼我明天有被車子撞死，要麼我明天沒有被車子撞死。如果是前一個情況，我明天有被車子撞死，便不可能我明天沒有被車子撞死。如果是後一個情況，我明天沒有被車子撞死，便不可能我明天被車子撞死。因此，無論是那一個情況，會發生的事都不可能不發生，換句話說，會發生的事一定會發生。

宿命論論證乍聽之下是個前提皆真的對確論證，但其實是由於前提含有歧義。一旦翻譯成模態邏輯的形式論證，便會發現前提有問題。留意第二步的前提︰「如果我明天被車子撞死，則不可能我明天沒有被車子撞死」，或者是更明顯的︰「如果我明天被車子撞死，則必然地我明天被車子撞死」。

這個前提有兩個翻譯方法，假如要將它理解成真前提，便要寫成（「□」表示「必然」）︰

□(P→P)

然而，這個前提推不出宿命論的結論，最多只能推論到「必然地，如果某事發生則某事發生」這句邏輯真句。另一方面，若果要得到宿命論的結論，可以將這個前提理解成︰

P→□P

但這其實就等於宿命論需要論證的結論「會發生的事都是必然會發生的」，所以，第二個理解底下，宿命論論證將待論證的結論偷放到前提，犯了丐題 (begging the question) 謬誤。（可參考〈從偶然未來到真值隙〉。）

在這類情形，翻譯成模態邏輯的論證後有問題──要麼系統內不對確，要麼直接將結論放到前提──使人回頭修正對非形式論證的評價──要麼將之判斷為系統外不對確，要麼是丐題的論證。好幾個版本的宿命論論證，如 Soames (2003, pp.71-73) ，現時已是經常用來說明模態謬誤 (modal fallacy) 的例子。

丙︰翻譯過程有問題，需要調整翻譯方法

當系統內和系統外的對確性出現差異，一方面可改邏輯系統，另一方面可改原本系統外的判斷，除此以外，尚有一個可能：修改翻譯方法。考慮一個非形式論證︰

(D)
Somebody is Prime Minister
Somebody is Queen
So, the Prime Minister is Queen.

直覺上這是不對確的論證，可是，若果用羅素的述詞邏輯將它翻譯成︰

a=b
b=c
/∴ a=c

它便會變成系統內對確的論證。正確的翻譯需要顧及確定描述詞 (definite description) ，忠於文法結構，應該要用「ι」︰

∃x(Fx)∧∃x(Gx)
/∴ ιxFx = ιxGx

這樣翻譯後便不再是系統內對確的論證。

另一方面，有些非形式論證是對確的，例如︰

(E)
The President signed the treaty with a red pen
So, the President signed the treaty

假如用平常的方式翻譯成一階述詞邏輯，卻會是不對確的︰

Fa
/∴ Ga

Donald Davidson 認為此時我們不需要修改邏輯系統，而只要修改翻譯方式。在原本的翻譯方法，論域包含的是物件 (object) ，例如「總統」此一物件，但 Davidson 提議將論域所包含的東西改成事件 (event) ，如「總統簽署條約」此一事件。若用半形式的方法表達︰

∃x(x was a signing of a treaty by a President and x was with a red pen)
/∴ ∃x(x was a signing of a treaty by a President)

其意思是：「至少有一個事件，它是總統簽條約的事件，而且是使用紅筆的事件，因此，至少有一個事件是總統簽條約的事件。」純形式的表達是：

∃x(Sx∧Rx)
/∴∃x(Sx)

明顯地，這個翻譯在一階述詞邏輯是對確的。假如 Davidson 的提議沒有錯，一階述詞邏輯本來便能處理論證 (E) ，只是我們沒有發現，才誤以為要改邏輯系統。

小結

非形式論證、符號表達、形式論證之間的關係到底如何，除了本身是邏輯哲學的議題，亦牽涉到其他哲學議題。在宿命論的例子，透過恰當的邏輯系統來分析，可更正確的評估宿命論這個形上學立場。在最後的例子，若果採納 Davidson 提議，我們更加有理由相信事件是這個世界的其中一類存有物 (Lowe, 2002, pp.217-218) 。

參考文獻

  • Haack, Susan (1978). Philosophy of Logics. Cambridge University Press.
  • Lowe, E. J. (2002). A Survey of Metaphysics. Oxford University Press.
  • Priest, Graham (2000). Logic: A Very Short Introduction. Oxford University Press.
  • Soames, Scott (2003). Philosophical Analysis in the Twentieth Century Vol. 2: The Age of Meaning. Princeton University Press.

本文獲授權轉載，原文見紫煙亭，原題為〈邏輯系統外、邏輯系統內〉。

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核稿編輯：歐嘉俊