Variable aleatoria

Variable aleatoria
random element (en) y variable

Una variable aleatoria ye una función qu'asigna un valor, usualmente numbéricu, al resultáu d'un esperimentu aleatoriu. Por casu, los posibles resultaos de tirar un dau dos vegaes: (1, 1), (1, 2), etc. o un númberu real (p.e., la temperatura máximo midida a lo llargo del día nuna ciudá concreta).

Los valores posibles d'una variable aleatoria pueden representar los posibles resultaos d'un esperimentu entá non realizáu, o los posibles valores d'una cantidá que'l so valor anguaño esistente ye inciertu (p.e., como resultáu de midida incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomase como una cantidá que'l so valor nun ye fixu pero puede tomar distintos valores; una distribución de probabilidá usar pa describir la probabilidá de que se dean los distintos valores. En términos formales una variable aleatoria ye una función definida sobre un espaciu de probabilidá.

Les variables aleatories suelen tomar valores reales, pero pueden considerase valores aleatorios como valores lóxicos, funciones o cualquier tipu d'elementos (d'un espaciu medible). El términu elementu aleatoriu utilizar pa englobar tou esi tipu de conceutos rellacionaos. Un conceutu rellacionáu ye'l de procesu estocástico, un conxuntu de variables aleatories ordenaes (davezu por orde o tiempu).

Definición de variable aleatoria

Conceutu intuitivu

Una variable aleatoria puede concebise como un valor numbéricu que ta afeutáu pol azar. Dada una variable aleatoria nun ye posible conocer con certidume'l valor que va tomar esta al ser midida o determinada, anque sí se conoz qu'esiste una distribución de probabilidá acomuñada al conxuntu de valores posibles. Por casu, nuna epidemia de cólera, sábese qu'una persona cualesquier puede carecer o non (sucesu), pero nun se sabe cuál de los dos sucesos va asoceder. Solamente puede dicise qu'esiste una probabilidá de que la persona careza.

Pa trabayar de manera sólida con variables aleatories polo xeneral ye necesariu considerar un gran númberu d'esperimentos aleatorios, pal so tratamientu estadísticu, cuantificar los resultaos de cuenta que s'asigne un númberu real a cada unu de los resultancies posibles del esperimentu. D'esta miente establezse una rellación funcional ente elementos del espaciu muestral acomuñáu al esperimentu y númberos reales.

Definición formal

Una variable aleatoria (v.a.) X ye una función real definida nel espaciu de probabilidá, $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, acomuñáu a un esperimentu aleatoriu.

$X:\Omega \to \mathbb {R}$

La definición formal anterior arreya conceutos matemáticos sofisticaos procedentes de la teoría de la midida, concretamente la noción σ-álxebra o la de midida de probabilidá. Dau un espaciu de probabilidá $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ y un espaciu medible $(S,\Sigma )$, una aplicación $X:\Omega \longrightarrow S$ ye una variable aleatoria si ye una aplicación ${\mathcal {A}},\Sigma$-medible. Nel usu ordinariu, los puntos de $\omega \in \Omega$ nun son direutamente observables, namái'l valor de la variable nel puntu $X(\omega )$ polo que l'elementu probabilístico mora nel desconocimientu que se tien del puntu concretu $\omega$ .

Na mayoría d'usos práctios tiense que l'espaciu medible de llegada ye $(S,\Sigma )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, quedando pos la definición d'esta manera:

Dau un espaciu de probabilidá $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ una variable aleatoria real ye cualesquier función ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$-medible onde ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ ye la σ-álxebra boreliana.

Rangu d'una variable aleatoria

Llámase rangu d'una variable aleatoria X y lo denotaremos R_X, a la imaxe o rangu de la función $X$, esto ye, al conxuntu de los valores reales qu'ésta puede tomar, según l'aplicación X. Dichu otra manera, el rangu d'un v.a. ye'l percorríu de la función pola qu'ésta queda definida:...

$R_{X}=\{x\in \mathbb {R} |\ \exists \,\omega \in \Omega :X(\omega )=x\}$

Exemplos

Exemplu 1

Supongamos que se llancen dos monedes al aire. El espaciu muestral, esto ye, el conxuntu de resultancies elementales posibles acomuñáu al esperimentu, ye:

$\Omega =\left\{{\textrm {cc,cx,xc,xx}}\right\}$

onde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz"). Podemos asignar entós a cada sucesu elemental del esperimentu'l númberu de cares llograes. D'esta miente definiríase la variable aleatoria X como la función

$X:\Omega \to \mathbb {R}$

dada por

${\textrm {cc}}\to 2$

${\textrm {cx}},{\textrm {xc}}\to 1$

${\textrm {xx}}\to 0$

El percorríu o rangu d'esta función, R_X, ye'l conxuntu :$R_{X}=\left\{0,1,2\right\}$

Exemplu 2

El nivel X de precipitación rexistráu un día concretu del añu, nuna ciudá por una estación meteorolóxica concreta. L'espaciu muestral qu'inclúi tolos posibles resultaos puede representase pol intervalu $\scriptstyle R_{X}(\Omega )=[0,\infty )$. Nesti casu l'espaciu muestral ye más complicáu porque incluyiría especificar l'estáu de l'atmósfera completu (un aproximamientu sería describir el conxuntu de posiciones y velocidaes de toles molécules de l'atmósfera, que sería una cantidá d'información monumental o usar un modelu más o menos complexu en términos de variables macroscópicas, como los modelos meteorolóxicos usaos anguaño).

Podemos revisar la serie histórica de precipitaciones y averar la distribución de probabilidá $F_{X}(x)$ de X y consturir un aproximamientu ${\bar {F}}_{X}(x)$. Nótese que nesti casu la distribución de probabilidá nun ye conocida, namái se conoz la distribución muestral (la serie histórica) y conxetúrase que la distribución real nun s'alloñar enforma d'esta aproximaxión $F_{X}(x)\approx {\bar {F}}_{X}(x)$. Si la serie histórica ye abondo llarga y representa un clima que nun difier significativamente del actual estos dos úlitmas funciones van diferir bien pocu.

Carauterización de variables aleatories

Tipos de variables aleatories

Pa entender d'una manera más amplia y rigorosa los tipos de variables, ye necesariu conocer la definición de conxuntu discretu. Un conxuntu ye discretu si ta formáu por un númberu finito d'elementos, o si los sos elementos pueden numberase en secuencia de cuenta qu'haya un primer elementu, un segundu elementu, un tercer elementu, y asina socesivamente (esto ye, un cojunto infinitu numerable ensin punto d'acumuladura). Pa variables con valores en $\mathbb {R}$ les variables aleatories clasifíquense usualmente en:

• Variable aleatoria discreta: una v.a. ye discreta si'l so percorríu ye un conxuntu discretu. La variable del exemplu anterior ye discreta. Les sos probabilidaes recoyer na función de cuantía. (Veanse les distribuciones de variable discreta).
• Variable aleatoria continua: una v.a. ye continua si'l so percorríu ye un conxuntu non numerable. Intuitivamente esto significa que'l conxuntu de posibles valores de la variable toma tou un intervalu de númberos reales. Por casu, la variable qu'asigna la estatura a una persona estrayida d'una determinada población ye una variable continua yá que, teóricamente, tou valor ente, pongamos por casu, 0 y 2,50 m, ye posible. (Veanse les distribuciones de variable continua).

Les definiciones anteriores pueden xeneralizase fácilmente a variables aleatories con valores sobre $\mathbb {R} ^{n}$ o $\mathbb {C} ^{n}$. Esto nun escosa'l tipu de variables aleatories una y bones el valor d'una variable aleatoria pue ser tamién una partición, como asocede nel procesu estocástico del restorán chinu o'l conxuntu de valores d'una variable aleatoria pue ser un conxuntu de funciones como'l procesu estocástico de Dirichlet.

Distribución de probabilidá d'una variable aleatoria

Artículu principal: Distribución de probabilidá

La distribución de probabilidá d'una v.a. X, tamién llamada función de distribución de X ye la función $F_{X}(x)$, qu'asigna a cada eventu definíu sobre $X$ una probabilidá dada pola siguiente espresión:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$

Y de manera que se cumplan les siguientes trés condiciones:

1. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ y $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$
2. Ye continua pela derecha.
3. Ye monótona non decreciente.

La distribución de probabilidá d'una v.a. describe teóricamente la forma en que varien los resultaos d'un esperimentu aleatoriu. Intuitivamente tratar d'una llista de los resultaos posibles d'un esperimentu coles probabilidáes que s'esperaríen ver asociaes con cada resultancia.

Función de densidá d'una v.a. continua

Artículu principal: Función de densidá de probabilidá

La función de densidá de probabilidá (FDP) o, a cencielles, función de densidá, representada comúnmente como f(x), utilizar col propósitu de conocer cómo se distribúin les probabilidaes d'un sucesu o eventu, en rellación al resultáu del sucesu.

La FDP ye la derivada (ordinaria o nel sentíu de les distribuciones) de la función de distribución de probabilidá F(x), o de manera inversa, la función de distribución ye la integral de la función de densidá:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

La función de densidá d'una v.a. determina la concentración de probabilidá alredor de los valores d'una variable aleatoria continua.

Funciones de variables aleatories

Sía una variable aleatoria $\scriptstyle X$ sobre $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ y una función medible de Borel $\scriptstyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, entós $\scriptstyle Y=g(X)\,\!$ va ser tamién una variable aleatoria sobre $\scriptstyle \Omega \,\!$, yá que la composición de funciones medibles tamién ye medible sacantes que $g$ sía una función medible de Lebesgue. El mesmu procedimientu que dexa dir d'un espaciu de probabilidá $\scriptstyle (\Omega ,P)\,\!$ a $\scriptstyle (\mathbb {R} ,dF_{X})$ puede ser utilizáu pa llograr la distribución de $\scriptstyle Y$. La función de probabilidá acumulada de $\scriptstyle Y$ ye

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).$

Si la función g ye invertible, ye dicir g^-1 esiste, y ye monótona creciente, entós l'anterior rellación puede ser estendida pa llograr

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)=\operatorname {P} (X\leq g^{-1}(y))=F_{X}(g^{-1}(y))$

y, trabayando de nuevu so les mesmes hipótesis d'invertibilidad de g y asumiendo amás diferenciabilidad, podemos topar la rellación ente les funciones de densidá de probabilidá al estremar dambos términos respeuto de y, llogrando

$f_{Y}(y)=f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|$.

Si g nun ye invertible pero cada y tien un númberu finito de raigaños, entós la rellación previa cola función de densidá de probabilidá puede xeneralizase como

$f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|$

onde x_i = g_i^-1(y). Les fórmules de densidá nun riquir que g sía creciente.

Exemplu

Sía X una variable aleatoria real continua y sía Y = X².

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).$

Si y < 0, entós P(X² = y) = 0, polo tanto

$F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{si}}\quad y<0.$

Si y ≥ 0, entós

$\operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),$

polo tanto

$F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{si}}\quad y\geq 0.$

Parámetros rellacionaos con una variable aleatoria

Artículu principal: Parámetru estadísticu

La función de densidá o la distribución de probabilidá d'una variable aleatoria (v.a.) contién exhaustivamente tola información sobre la variable. Sicasí, resulta conveniente resumir les sos carauterístiques principales con unos cuantos valores numbéricos. Ente estos tán la esperanza y la varianza (anque pa carauterizar dafechu la distribución de probabilidá precisen parámetros estadísticos adicionales).

Esperanza

Artículu principal: Esperanza matemática

La esperanza matemática (o a cencielles esperanza) o valor esperáu d'una v.a. ye la suma del productu de la probabilidá de cada sucesu pol valor de dichu sucesu. Si tolos sucesos son d'igual probabilidá la esperanza ye la media aritmética. Pa una variable aleatoria discreta con valores posibles $x_{1},x_{2}\ldots x_{n}\,\!$ y les sos probabilidaes representaes pola función de probabilidá $p(x_{i})$ la esperanza calcúlase como:

$\mathbb {Y} [X]=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})\,\!$

Pa una variable aleatoria continua la esperanza calcular por aciu la integral de tolos valores y la función de densidá $f(x)\,\!$:

$\mathbb {Y} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\,\!$

o $\mathbb {Y} [X]=\int _{\Omega }X\,{\text{d}}P\,\!$

La esperanza tamién se suel simbolizar con $\mu =\mathbb {Y} [X]\,\!$

El conceutu d'esperanza acomúñase comúnmente nos xuegos d'azar al de beneficiu mediu o beneficiu esperáu al llargu plazu.

Varianza

Artículu principal: Varianza

La varianza ye una midida de dispersión d'una variable aleatoria $X\,\!$ al respeutive de la so esperanza $\mathbb {Y} [X]\,\!$. Defínese como la esperanza del tresformamientu $\left(X-\mathbb {Y} [X]\right)^{2}\,\!$:

$\sigma ={\sqrt {{\text{Var}}(X)}}\,\!$ o bien $\sigma ^{2}={\text{Var}}(X)\,\!$

Momentos d'orde cimeru

{{ap|Función carauterística|Función xeneradora de momentos Dada una distribución de probabilidá continua'l conxuntu de los sos momentos caracteriza dafechu la distribución. Dos d'estos momentos yá apaecieron, el valor esperáu coincide col momentu de primer orde, ente que la varianza puede espresase como una combinación del momentu de segundu orde y el cuadráu del momentu de primer orde. Polo xeneral, el momentu d'orde n d'una variable aleatoria real con densidá de probabilidá definida casi perdayuri calcúlase como:

$M_{X}^{(n)}=\mathbb {Y} [X^{n}]=\int _{\mathbb {R} }x^{n}f_{X}(x)\ {\text{d}}x$

Estos momentos pueden llograse a partir de les derivaes n-ésimas de la función carauterística $\varphi _{X}(x)$ acomuñada a la variable X:

${\frac {{\text{d}}\varphi _{X}^{(n)}(0)}{{\text{d}}x^{n}}}=i^{n}\mathbb {Y} [X^{n}]$

o análogamente la función xeneradora de momentos:

$M_{X}^{(n)}(0)={\frac {{\text{d}}^{n}M_{X}(0)}{{\text{d}}x}}\,$

Ver tamién

• Distribución de probabilidá.
• Distribución binomial.
• Distribución normal.
• Esperanza matemática.
• Varianza.

Referencies

Bibliografía

• Peña Sánchez de Rivera, Daniel (2008). Fundamento d'Estadística, 1ª, Alianza Editorial, páx. 688. ISBN 9788420683805.
• Ropero Moriones, Eva (2009). Manual d'estadística empresarial, 1ª, Delta Publicaciones, páx. 200. ISBN 9788492453214.

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Variable aleatoria.

• Datos: Q176623
• Multimedia: Random variable