Выпадковая велічыня

Выпадковая велічыня — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня, а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую вымерную прастору, часта рэчаісных лікаў.

Азначэнне

Вызначым спачатку ${\mathcal {A}}$-вымерную функцыю. Функцыя $f:\Omega \to \mathbb {R}$ называецца ${\mathcal {A}}$-вымернай для некаторай σ-алгебры ${\mathcal {A}}$, калі для кожнага $x\in \mathbb {R}$ выконваецца $$f^{-1}((-\infty ,x)):=\{\omega \in \Omega |f(\omega )<x\}\in {\mathcal {A}}$$

Выпадковай велічынёй называецца ${\mathcal {A}}$-вымерная функцыя $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$, абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей $\Omega$ імавернаснай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$^:69.

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага барэлеўскага падмноства $B\subset \mathbb {R}$ праўдзіцца $\xi ^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}$. Аналагічным чынам замест $(\xi <x)$ у азначэнні можна браць $(\xi \leq x)$, $(\xi >x)$, $(\xi \geq x)$, $(x_{1}\leq \xi \leq x_{2})$ і г.д.^:70

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіцца^:69.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары ($\xi$, $\eta$ і г.д.) або вялікія лацінскія ($X$, $Y$ і г.д.)

Размеркаванне выпадковай велічыні

Асноўны артыкул: Размеркаванне імавернасцей

Размеркаваннем выпадковай велічыні $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ называецца імавернасная мера $P_{\xi }:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў $B\subset \mathbb {R}$ з дапамогай роўнасці $P_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P(\xi ^{-1}(B)).$

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя $F_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, якая вызначаецца праз роўнасць

$F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .$

З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак $[a,b)$ роўная $F(b)-F(a).$

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання^:70-71.

Класіфікацыя

Асноўны артыкул: Размеркаванне імавернасцей § Класіфікацыя размеркаванняў

Выпадковыя велічыні класіфікуюцца паводле іх размеркаванняў і падзяляюцца, як і размеркаванні, на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя^:77-78.

Дыскрэтныя выпадковыя велічыні прымаюць канечную або злічоную колькасць значэнняў і іх размеркаванне можна апісаць з дапамогай функцыі імавернасці $p_{\xi }(x)=P(\xi =x)$. Размеркаванне абсалютна непарыўных велічынь можна апісаць з дапамогай функцыі шчыльнасці, якая амаль усюды роўная вытворнай ад функцыі размеркавання $f_{\xi }(x)=F'_{\xi }(x)$.

З дапамогай функцыі размеркавання можна апісаць размеркаванні ўсіх тыпаў незалежных велічынь.

Прыклады

• Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, то бок

  $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.$

Тады яе матэматычнае спадзяванне

$M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

роўнае сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.

• Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку $[a,b]$, дзе $a<b$. Тады яе шчыльнасць мае выгляд

  $f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x),$

а матэматычнае спадзяванне роўнае

$M[X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}.$

Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Функцыі ад выпадковых велічынь

Калі $\xi :\Omega \to \mathbb {R}$ — выпадковая велічыня, а функцыя $\varphi :\xi (\Omega )\to \mathbb {R}$ барэлеўская (то бок правобраз кожнага барэлеўскага мноства барэлеўскі), то кампазіцыя $\eta =\varphi \circ \xi :\Omega \to \mathbb {R}$ ёсць выпадковай велічынёй на той жа імавернаснай прасторы з размеркаваннем

$P_{\eta }(B)=P_{\xi }(\varphi ^{-1}(B)),$

дзе $B$ — барэлеўскае мноства^:90.

На практыцы гэтая ўласцівасць часта выконваецца, бо, напрыклад, усе непарыўныя функцыі — барэлеўскія.

Фукнцыю размеркавання $\eta$ можна запісаць як^:90

$F_{\eta }(x)=\int \limits _{\varphi ^{-1}((-\infty ,x))}dF_{\xi },$

дзе $F_{\xi }$ — функцыя размеркавання $\xi .$

Калі $\xi$ — абсалютна непарыўная выпадковая велічыня са шчыльнасцю $f_{\xi },$ а $\varphi$ — строга манатонная і дыферэнцавальная функцыя, то $\eta =\varphi (\xi )$ будзе мець шчыльнасць^:91

$f_{\eta }(x)=f_{\xi }(\varphi ^{-1}(x))\left|\left[\varphi ^{-1}\right]'(x)\right|={\frac {f_{\xi }(\varphi ^{-1}(x))}{\left|\varphi '(\varphi ^{-1}(x))\right|}}.$

Прыклад

Залежнасць шчыльнасці ад значэння, на якое дамнажаюць выпадковую велічыню. Плошча пад графікам шчыльнасці застаецца нязменнай і роўнай 1.

Няхай выпадковая велічыня $\xi$ мае паказнікавае размеркаванне ($\xi \sim Exp(\lambda )$) са шчыльнасцю

$f_{\xi }(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ для $x\geq 0,$

а функцыя $\varphi (x)=2x.$ Тады $\varphi ^{-1}(x)=x/2,$ а $\eta =\varphi (\xi )=2\xi$ — выпадковая велічыня са шчыльнасцю

$f_{\eta }(x)=f_{\xi }\left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \left|\left({\frac {x}{2}}\right)'\right|=\lambda e^{-\lambda {\frac {x}{2}}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {\lambda }{2}}e^{-{\frac {\lambda }{2}}x},$

то бок $\eta \sim Exp(\lambda /2).$

Інтуітыўна формулу можна растлумачыць так, што памнажаючы велічыню на два, мы рассоўваем пункты на восі абсцыс адзін ад аднаго такім чынам, што дыстанцыя паміж пунктамі становіцца ў два разы большай, што робіць шчыльнасць у два разы меншай, бо плошча пад графікам шчыльнасці мусіць заставацца роўнай 1. У выпадку нелінейнай манатоннай функцыі $\varphi$, напрыклад $\varphi =x^{3},$ інтуіцыя захоўваецца, але дыстанцыі паміж пунктамі будуць змяняцца па-рознаму ў розных пунктах восі абсцыс, адпаведна і значэнне вытворнай у формуле будзе залежаць ад $x$.

Абагульненні

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

• Вымерная функцыя $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ называецца n-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай $\sigma$-алгебры на $\mathbb {R} ^{n}$) або многавымернай выпадковай велічынёй.
• Вымерная функцыя $X:\Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ называецца n-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай $\sigma$-алгебры).
• Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама

• Выпадковы працэс
• Функцыя размеркавання
• Матэматычнае спадзяванне

Літаратура

• Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.

Спасылкі

• Многомерные случайные величины (руск.)