M.C. Escher y las matemáticas
ARRIBA: Circle Limit IV (Heaven and Hell), M.C. Escher. Esta obra del artista holandés retoma su afición a las matemáticas de los "espacios hiperbólicos". En estos espacios, la repetición de patrones modulares es un efecto de la alta simetría espacial. Adviértase que el dibujo de Escher pierde perspectiva y se distorsiona en los "bordes" del plano circular; la imagen de los diablitos y angelitos deberían ser -en un espacio hiperbólico- totalmente "idénticos", como la refracción especular que realiza un espejo de un objeto delante de él. Precisamente, la simetría fue la primera propiedad estudiada de estos espacios; el matemático Roger Penrose analizó en particular y en detalle la composición de dos formas -cometas y dardos-, y pudo observar que había infinitas posibilidades de composición entre ambas, definiendo así una "superficie" sin espacios vacíos. Los tipos de simetrías conocidos en los espacios euclídeos son: la reflexiva (cada punto del plano se puede definir por una función que le asigna un punto equivalente sobre otro eje, por ejemplo, la función y=x); rotacional (cada punto del plano se le aplica una función periódica que luego de ese período retorna al mismo punto de partida, como por ejemplo la función y=cosx) y traslativa o de traslación (cuando un punto del plano "se desplaza" a lo largo del plano o una recta no perdiendo su configuración, como por ejemplo, el pulso de una onda armónica caracterizada por la letra griega lambda). En los espacios euclídeos estas tres formas de simetría son formas equivalentes, que muchas veces dependen de la técnica de resolución de un problema específico; así para hallar el campo eléctrico de una esfera en superficie es recomendable estudiarla a través de coordenadas esféricas por su simetría radial respecto de un eje que pase por su centro. Ahora bien, en los espacios hiperbólicos, estas equivalencias de simetría no se dan. Así, en el espacio de Penrose, la traslación de los puntos de una configuración de cometas y dardos a otra equivalente es imposible...La "aparente" simetría es engañosa y solo tenemos un mosaico de módulos repetitivos pero no simétricos. Con la obra de Escher ocurre lo mismo, la "distorsión" de los bordes es un defecto óptico que sin embargo el ojo lo "lee" como una repetición del infinito de una simetría perfecta pero no lo es...
ABAJO: Mi pequeño homenaje a M.C. Escher, dibujado a lápiz y a colores ya hace unos años...La Banda o Cinta de Möbius es una superficie de una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable y no parametrizable (al menos si se toma por un todo). Fue "descubierta" por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict; en el problema hipotético de las hormigas, se dice que si ellas no pudieran salir de la cinta y se desplazaran mirando hacia la derecha, al dar una "vuelta" completa, aparecerán luego mirando hacia la izquierda (lo que es otra forma de decir que pasarían -sin solución de continuidad- de una cara de la cinta a la otra "sin levantar las patas"). La superficie de Möbius es una superficie de una sola cara!