Carta de Controle EWMA – Uma Comparação com a Carta Shewhart Tradicional

Introdução

O trabalho de Walter Shewhart, ainda que tenha proposto o conceito universal de causas especiais e causas comuns de variação, não definiu cartas de controle universais, para todos os tipos de processos e necessidades. Isto é esperado para os resultados de qualquer pesquisa, que vão sendo refinados com o passar do tempo. É o ciclo de apreensão de conhecimento da ciência.

Ainda assim, as cartas Shewhart para controle e melhoria de processo possuem uma amplitude de aplicação gigantesca, sendo interessante, no entanto, apresentarmos algumas técnicas que melhor se adequem a determinadas circunstâncias. Uma destas técnicas é carta EWMA (Exponentially Weighted Moving Average Chart), usada mais frequentemente quando estamos interessados em detectar pequenas mudanças no processo.

A Estatística Z

A média móvel ponderada exponencialmente é obtida desta forma:

onde lambda é uma constante maior que 0 e menor ou igual a 1, e z0 pode ser, por exemplo, a média dos 5 valores iniciais de x, ou ainda o alvo do processo.

Caso observemos atentamente a expressão para z, vamos notar que os dados históricos passam a influenciar mais ou menos o valor atual de z, dependendo do valor de lambda.

Suponha, então, para os dados abaixo, coletados diretamente do processo, que decidamos iniciar uma carta EWMA com lambda = 0,10. O processo tem alvo = 10,0 (z0).

Dados do processo: 9,45; 7,99; 9,29; 11,66 etc.

A primeira estatística z seria calculada desta forma:

z1 =0,10(9,45) + (1 – 0,10)10,0 = 9,945

Já z2 seria:

z2 = 0,10(7,99) + 0,90(9,945) = 9,7495

E assim por diante. Estes seriam os valores plotados na carta EWMA.

Precisamos agora estimar os limites da carta de controle. Certamente, vamos precisar de uma expressão para o desvio-padrão. Caso as observações sejam variáveis aleatórias independentes, a variância (quadrado do desvio-padrão) será (Montgomery, 2009):

Observe que o valor para a variância é dependente da idade do ponto plotado, devido ao expoente 2i. Ou seja, a variância, assim como os limites de controle, tende para um limite. Antes deste limite ser atingido, os limites de controle irão variando, como veremos mais adiante.

Logo, a definição da carta EWMA fica assim: 

A linha central pode ser tomada como o alvo do processo ou a média das observações iniciais.

Podemos tomar L = 3,0, como utilizado nas cartas Shewhart. No entanto, assim como nas cartas de controle tradicionais, há estudos que investigam a performance da carta EWMA quando L é variado.

Exemplo

Temos dados coletados do processo sob estudo na tabela abaixo. Vamos trabalhar com a média estimada a partir dos dados. Analise o processo por meio de uma carta EWMA.

Optamos por uma carta EWMA com lambda = 0,20. Observe que há uma sinalização de causa especial de variação na segunda observação. Quando criamos uma carta Shewhart para valores individuais para os mesmos dados, verificamos que não há este tipo de sinalização.

Figura 1. EWMA para os dados do processo. Há uma sinalização de causa especial de variação. Note os limites de controle variáveis.

Figura 2. A carta para valores individuais não indica uma causa especial de variação.

O que ocorreu neste exemplo pode nos fazer perguntar se a carta EWMA é mais indicada para detectar certos tipos de mudança no processo do que uma carta Shewhart. Vamos examinar algumas características a partir de agora.

As Cartas de Controle EWMA e a Não Normalidade

A estatística geralmente utilizada para a verificação da influência de distribuições assimétricas no desempenho de cartas de controle é o ARL (Average Run Lenght) ou Comprimento Médio de Ensaio (ver anexo). O ARL0 é o ARL em controle, ou seja, a distância média entre alarmes falsos (sinalizações de causas especiais de variação) quando o processo está em controle. Para as cartas Shewhart 3 sigma, o valor médio esperado entre cada falso positivo é de aproximadamente 370 observações (1/0,0027), já que a probabilidade de termos pontos situados além dos limites de controle para uma carta valores individuais com distribuição Normal é 0,0027.

Como seria então o impacto da não-normalidade das observações coletadas em cartas de controle EWMA?

Borror, Montgomery e Runger (1999) investigaram o comportamento das cartas EWMA e Shewhart (valores individuais) para distribuições Normais e distribuições Gama, estas com diversos parâmetros. As cartas EWMA foram projetadas para apresentarem um ARL0 = 370, para ser possível uma comparação com o desempenho das cartas Shewhart quando trabalhamos com distribuições Normais. Os parâmetros das EWMA que foram variados foram lambda e L, este último, como já dissemos, sendo o multiplicador do sigma do processo (veja as expressões para UCL – limite de controle superior e LCL – limite de controle inferior, no início do artigo).

Figura 3. Algumas funções de densidade de probabilidade para distribuições Gama em que o parâmetro de forma foi variado.

Figura 4. ARLs em controle para as cartas de controle de valores individuais e EWMA, para diversas distribuição Gama, com parâmetros modificados. Fonte: Borror, Montgomery e Runger (1999).

Podemos observar que uma carta EWMA pode ser transformada em uma carta Shewhart para individuais ao usarmos lambda = 1,0 e L = 3,0.  Quando fazemos lambda = 1,0, usamos todo o peso na última observação, o que a torna equivalente à carta Shewhart. Quando diminuímos lambda, entramos com peso maior no histórico do processo, e esta condição permite que a carta EWMA seja adequada para detectar pequenos deslocamentos do processo.

Na figura 4, podemos verificar que, para lambda = 0,05 e L = 2,492, os ARL em controle se aproximam muito do ARL para dados normais, mesmo quando variamos os parâmetros das distribuições Gama, tornando-as mais assimétricas. Já a carta Shewhart é bem afetada pela não normalidade, em termos de ARL, saindo de ARL = 370 para valores de ARL menores que 100, quando introduzimos dados não normais (Gama). Para a carta EWMA, a configuração que mostra um maior impacto é lambda = 0,20 e L = 2,86.

A figura 5 mostra, para as distribuições Gama e Normal, o ARL para as cartas EWMA e Shewhart quando os processos passam por um deslocamento medido em números de desvio-padrão. Neste ponto, estamos interessados em verificar a capacidade das cartas em detectar mudanças no processo no caso de distribuições Normais e assimétricas.

Note a detecção rápida de pequenas mudanças para a EWMA projetada com lambda = 0,05 e L = 2,492. E ainda, o ARL fica em torno de 26, mesmo ao variarmos as distribuições. Já uma mudança de 0,5 desvio-padrão é detectada, em média, após 155 observações em uma carta de valores individuais com dados normalmente distribuídos.

Figura 5. ARLs fora de controle para várias distribuições Gama e Normal, ao serem monitorados em cartas EWMA e de valores individuais (Shewhart). Fonte: Borror, Montgomery e Runger (1999).

Observe ainda que, para a carta Shewhart, para pequenos deslocamentos do processo há uma diferença significativa entre o ARL fora de controle para dados normalmente distribuídos e o ARL fora de controle para dados distribuídos de acordo com a distribuição Gama. Este comportamento parece desaparecer a partir de, aproximadamente, deslocamentos de 2,0 desvios-padrão em diante. Ainda, para grandes desvios, a carta Shewhart parece atuar melhor na detecção do que a carta EWMA. Para pequenas mudanças no processo, a carta EWMA tem um desempenho melhor, quando usamos lambda entre 0,05 e 0,20.

A habilidade da carta EWMA em detectar mudanças no processo não é significativamente afetada pela distribuição dos dados do processo.

O Esquema de Controle da EWMA

Um esquema de controle é um conjunto de critérios que usamos para testar, em qualquer momento do tempo, se o processo que está gerando as observações está em controle.

Para que possamos escolher entre diferentes esquemas de controle, devemos usar medidas de performance, como, por exemplo, o RL (Run Lenght) ou Comprimento de Ensaio. Acabamos de comparar os ARL em controle e fora de controle das cartas EWMA e de valores individuais para distribuições Normais e Gama.

Uma quantidade exagerada de falsos positivos, traduzida em um ARL muito curto, pode prejudicar a produtividade do processo, já que, em muitas vezes, pode significar uma parada para ajustes não necessários.    

O fato é que podemos projetar uma carta EWMA para que tenhamos um esquema de controle que privilegie, por exemplo, a detecção de pequenas mudanças no processo, ou mesmo que possua um determinado ARL em controle. Lucas e Saccucci (1990) investigaram diversos desses esquemas de controle, e uma destas tabelas pode ser vista na figura 6. Notamos que menores valores de lambda correspondem a detecções mais rápidas de menores deslocamentos da média. O valor de L = 3,0, o mesmo utilizado em cartas Shewhart, tem sido utilizado com frequência, mas é importante sabermos que maiores valores de lambda facilitam a detecção de maiores deslocamentos.

Um valor de lambda pequeno pode gerar uma inércia de detecção em deslocamentos da média, o que é um ponto desfavorável das cartas EWMA. 

Figura 6. ARLs para alguns esquemas de controle EWMA. Adaptado de Lucas e Saccucci (1990).

Considerações Finais

Neste artigo, tentamos comparar a performance de cartas de valores individuais 3 sigma e cartas EWMA, respeitando-se as características positivas de cada uma das técnicas. Se por um lado, a carta Shewhart possui maior simplicidade de entendimento e execução, a EWMA pode ser mais útil quando estamos tentando detectar mais rapidamente pequenas mudanças no comportamento do processo.

Foram examinadas a questão da assimetria das distribuições dos dados e o ARL.

Anexo

Figura 7. A indicação do RL na carta EWMA.

Na carta EWMA acima, construída com dados normalmente distribuídos e processo em controle, o Run Lenght (RL) é a quantidade de observações existentes até que o primeiro falso positivo seja sinalizado. Neste caso, na observação 136. Chamamos de falso positivo porque o processo simulado está em controle estatístico, ou seja, não deveria haver sinalização de causas especiais de variação.

O ARL em controle é uma característica da carta de controle que corresponde à média destes RLs, quando o número de RLs tende a infinito. Ou seja, é um resultado matemático, é a média de uma distribuição amostral de RLs.

O ARL fora de controle é o número esperado de observações entre a mudança real do processo e a sinalização pela carta de controle.

Referências

Connie M. Borror, Douglas C. Montgomery & George C. Runger (1999) Robustness of the EWMA Control Chart to Non-Normality, Journal of Quality Technology.

Montgomery, D. C. (2009) Introduction to Statistical Quality Control -6th edition, Wiley.

James M. Lucas & Michael S. Saccucci (1990) Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes: Properties and Enhancements, Technometrics.