撰文：布雷契（Ariel Bleicher）
翻譯：鍾樹人

重點提要

  • 自學出身的印度天才拉曼努真，在筆記本裡寫滿了有關數的神秘定理，其中有許多已證明是對的，並在後來開啟了全新的數學領域。
  • 現任職於美國艾茉利大學的數學家小野健，運用拉曼努真未發表的論文裡一些先前未獲認可的見解，與同事一起得到驚人的發現。
  • 這些發現不僅解開了有關函數這項數學機制的重大謎題，也可能讓我們發展出能更安全加密電腦資料的方式，或是研究黑洞的新方法。
sm148-90圖片來源：作者提供
已故數學天才拉曼努真（Srinivasa Ramanujan）

1984年，小野健（Ken Ono）還是中學生，與家人住在美國巴爾的摩。某個週六清晨，他打開家裡的信箱，看見一個像米紙一樣薄的信封，上面貼滿色彩豔麗的郵票，收件人是他父親──一位沉默寡言的日裔數學家。小野健把信交給父親，他父親從一貫用來計算方程式的黃色筆記本上抬起頭，放下手中的原子筆，輕柔拆開信封，展開裡面的信。

信的開頭是這樣寫的：「親愛的先生，我了解……由於您的出力，才促成了我丈夫的紀念雕像……對此我深表感激。」信的署名是阿瑪歐（S. Janaki Ammal），透過紅色墨水印成的信頭可認出來，她是已故數學天才拉曼努真（Srinivasa Ramanujan）的遺孀。

這是小野健第一次聽到傳說中的拉曼努真。這位自學出身的印度數學天才，在大約一個世紀之前提出某些神秘的主張，據他在英國的合作對象哈迪（Godfrey Harold Hardy）所言，這些主張「看起來令人難以置信」。但他的研究開啟了全新的數學領域，也啟迪後世提出許多理論，其中有些理論的提出者還贏得數學界的諾貝爾獎──費爾茲獎（Fields Medal）。

小野健後來持續深造，成為數學家，現在是美國艾茉利大學的數論教授，但他在學習數學的過程裡，並沒有注意拉曼努真，因為就他所知，這位「數學天才」沒有在自己專攻的數論「模形式」（modular form）留下新見解，模形式是以驚人的對稱性而聞名的抽象二維物件。

1998年，小野健29歲，拉曼努真以澎湃之姿重新出現在他的生命中。伊利諾大學香檳分校的數學家伯恩特（Bruce C. Berndt）在編撰這位天才的作品集時，發現一份之前被大多數人忽略的手稿。因為這篇論文處理的是模形式，伯恩特覺得小野健或許能解釋其中一些怪異的主張，於是掃描成電子檔案以電子郵件寄給他。

小野健讀到這篇論文的三分之二處就停了下來。拉曼努真以學生似的整齊筆跡，寫下六條大膽的數學敘述，這些敘述和小野健的專業有關，使他覺得它們簡直怪異到了極點。

小野健驚訝莫名，他很確定這些敘述是錯的：「我看著它們，然後說『不可能，這是鬼扯。』」

他的第一個念頭是想證明拉曼努真錯了。

拉曼努真如何想出他寫下的這些數學？至今仍然是個謎。他透過一本過時的英文指南自學，在20幾歲時，他一邊在政府部門擔任職員，一邊開始寫信把他的想法告訴英國多位數學家。拉曼努真只收到一個回覆，就是當時正嶄露頭角的哈迪，他邀請拉曼努真到英國劍橋大學與他共事。拉曼努真在海外待了三年之後，在第一次大戰期間，因為食物不足而病倒，他拖著憔悴、瘦弱又發燒的身體返回印度，在1920年過世，享年32歲。除了已發表的37篇論文，拉曼努真留下不少信件、未完成的手稿，以及三本精裝的皮面筆記本。

哈迪與其他人在檢視這些文件時，注意到他重新發現了古典定理，也就是有關數如何表現的規則，這些規則最早是由該領域的頂尖數學家寫下的，但拉曼努真注意到更多其他人沒看到的模式。訓練有素的數學家知道必須透過證明來支持自己的發現，也就是透過一連串的邏輯推論來說服同事，讓自己的發現為真。但拉曼努真並沒有如此大費周章，他把一長串又一長串的定理，以及在腦海中或小黑板上推演出來的計算，在筆記本裡寫滿了一頁又一頁，卻很少停下來解釋他是如何得出這些結論。單單三本筆記本，就包含了3,000個以上的結論與數的本質有關。許多數學家在拉曼努真死後，不斷努力想要證明它們的對錯。

伯恩特從1970年代開始鑽研拉曼努真的檔案，直到20多年後，他仍在努力。這時，他拿到一份手稿，上頭寫著六條引人注意的敘述──正是小野健決心要證明它們是錯誤的敘述。這些敘述把模形式類比為所謂的分割數（partition number）：把一個整數分割成一組較小的整數，並使這組整數加總起來的和等於原整數，這種分割方法有多少種，即為原整數的分割數。分割數來自於分拆函數（partion function），就如同其他函數一般，分拆函數描述的是兩件事之間的關係：也就是輸入值x，以及相對應的輸出值f(x)。分拆函數p(n)計算的是某整數n分割成較小正整數的所有可能組合方式。

分拆函數和分割數看起來或許很容易理解，但好幾個世紀以來，理論數學家一直想找到這些數之間的模式，以對它們進行預測、計算，並找出它們和其他函數與定理之間的關係。拉曼努真是第一個真正在這方面有所突破的人，他和哈迪一起設計出能快速推估出分割數近似值的方法。

拉曼努真在1919年的論文裡這樣寫道：「除了這些質數以外，其他的質數所衍生出來的模數（modulus）似乎都不具有這種單純的特質。」這裡所說的「這些質數」是指5、7和11。拉曼努真死後，數學家開始懷疑分割數也許還有不那麼單純的特質，並且想要找出答案。但一直到1990年代晚期，他們只找到少數幾個其他的同餘現象，包括29、173、236，看起來似乎只是隨機的質數或質數的次方。他們開始懷疑這類模式根本無法預測，而且非常、非常稀少。

然而，小野健在努力研究拉曼努真手稿中那六則敘述之後，卻驚訝地發現後人的猜測可能大錯特錯。長久以來，數學家一直相信分割數只跟一小部份的模形式有關。但讓小野健感到困惑的是，拉曼努真的六則敘述卻以一種出人意表的深奧方式，把兩個領域連結起來。因為拉曼努真沒有留下證明，小野健無法直接指認這位天才思考過程裡的謬誤。所以他決定把一些數值輸入拉曼努真在敘述中提到的公式，希望透過實例揭露錯誤。但公式每次都成立，「老天！」小野健不禁驚歎，他了解到拉曼努真一定是對的，「因為你不可能靠創意掰出這樣的東西，而且100次都成立，除非你知道公式成立的原因，一定是這樣。」

本文獲《科學人雜誌》、《科學人粉絲團》授權刊登，原文刊載於此

責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航