文：Chih C. Yang

為何有集合論？

蓋房子前先了解你的地基，集合論（Set theory）是現代數學的基礎。

Photo Credit: 三民出版

  • 集合論

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數學的大部分理論，都是經由好幾世代的數學家努力，長期累積而來的。

但集合論卻是在19世紀末由格奧爾格．康托爾（Georg Cantor, 1849-1918）所創立的。

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無限集合

康托爾教我們如何藉由比較有限集合的方法去比較無限集合（Infinite Sets）的大小—透過像基數（cardinality，集合的元素個數）與可數（denumerability）這些清楚的概念定義。

  • 芝諾悖論：阿基里斯和烏龜

在康托爾的年代之前，人們對無限的理解非常匱乏，而在數學上的無限又是隱晦且充滿矛盾的。芝諾悖論（Zeno's Paradox）就是一個這樣的例子（西元前490-425年）。

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在賽跑中，阿基里斯讓烏龜的起跑點在他前面領先一段距離，比如說10公尺吧。阿基里斯必須跑10公尺才能到達烏龜剛才的起跑點，但當他到達這個起跑點時，烏龜又已經跑到更前面的位置了。無論如何追趕，每當阿基里斯抵達烏龜剛才的位置，烏龜又已經跑到更前面的位置了。因為阿基里斯必須到達沿路上烏龜前進路線的無數多個位置點，所以他根本追不上烏龜。

在中世紀，歐洲的數學發展幾乎是停滯不前的。無限的概念已經變成一門神學而非科學了。

宇宙間大部分的模式都是被認為是有限的，唯一的無限是上帝。

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直到16世紀，無限才被接受與紀錄下來，視同數學上一門合理的、正當的研究主題。

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無限是多大？

  • 在有限的世界中計數

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在數字發明之前，牧羊人用一堆小石子與羊群一對一配對，一顆小石子對應一隻羊。當牧羊人拿著小石子與羊群逐一對照，若對照完後發現小石子有剩，則代表有羊隻走失。

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在數字發明之後，計數才變成可能的事。在計數時，自然數取代了小石子，並以一對一的方式與羊隻配對。

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計數──一種比使用小石子來配對更為抽象的一對一形式──比較有限集合的大小時運作良好。但是當數學家將它拿來比較無限集合的個數時，就導致矛盾與悖論發生。

無限集合的計數

  • 悖論1

試著想像以一對一配對方式，計算所有正偶數的個數。

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根據上表，你可以看到每一個正偶數都有一個自然數對應。那麼，它看起來好像偶數集合與自然數集合（包括奇數）是「一樣多」的。

  • 悖論2

另一個藉由一對一對應來比較大小的例子：

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C1和C2是兩個同心圓，a1是C1圓上的一點，a2是C2圓上的一點，且a1與a2都落於從同心圓畫出的一條射線上。因此對每一條我們所畫的射線，我們都可以建立一個圓C1上的點和圓C2上的點之間的一對一對應。

因此，我們可能得到圓C1和圓C2是「相同大小」的結論。

悖論是一種看似矛盾或不合邏輯的敘述，但那也可能是對的。

書籍介紹

《數思漫想－漫畫帶你發現數學中的思考力、邏輯力、創造力》，三民出版
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作者：Chih C. Yang
譯者：陳玉芬、涂佩瑜、李偉任、潘漢文、李靜平、張嘉芸、李伶芳、陳財宏、朱志竣、李少宇

數學不能用背的，需要的是理解！但對於看到冗長的文字解釋，總是讓人乏味無力，甚至完全無法想像！

針對具有不同數學能力的讀者，幫助讀者欣賞和享受現代抽象數學的美，並激發學習各種數學主題的興趣與思維方式。為了保持讀者的熱情，作者使用很多具體的例子來說明一般概念的樣貌。

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責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航