Números Complexos : Uma imaginação Real

Breve resumo histórico

Dois mil anos antes de cristo já era conhecida dos babilónios a resolução de equações quadráticas.A necessidade dos números complexos surgiu ao resolver equações,curiosamente com equações cúbicas e quartas, com o matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576).

Rafael Bombelli (1526-1573), avançou na compreensão dos números imaginários,supondo que raíz quadrada de -1 ao quadrado seria igual a -1.

Leonhard Euler (1707-1783) foi fundamental para estabelecer a teoria dos números complexos, que engloba os números reais e imaginários.Euler foi responsável por popularizar a notação "i" para representar a unidade imaginária e estabeleceu as propriedades básicas dos números complexos, como a adição, a subtração e a multiplicação.A fórmula de euler é uma das mais famosas identidades da Matemática.

Com o trabalho de matemáticos como Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), a teoria dos números complexos foi firmemente estabelecida no século XIX.

Fundamentos teóricos

Os números complexos formam um conjunto que é uma extensão dos números reais. Eles são representados de várias maneiras:

Forma Algébrica: a + bi, onde "a" é a parte real e "b" é a parte imaginária do número complexo, e "i" é a unidade imaginária definida como a raiz quadrada de -1. Onde, "a" e "b" são números reais.

Forma trigonométrica ou polar: z = r(cos θ + i sin θ) ,r é a distância do complexo à origem (módulo), θ é o argumento do número complexo, que é o ângulo formado entre o vetor que representa o número complexo e o eixo dos números reais.

θ=arctan (b/a) e r=raiz quadrada (a^2+b^2).

Como cos θ + i sin θ=e^iθ,também o podemos representar na Forma exponencial: z=re^iθ

Os números complexos são representados no plano complexo, que é uma extensão do plano cartesiano. No plano complexo, o eixo horizontal é chamado de eixo dos números reais, e o eixo vertical é chamado de eixo imaginário (Plano de Argand).

Algumas aplicações dos Complexos

·        Os números complexos são amplamente utilizados nas análises de circuitos elétricos, mecânica quântica e eletromagnetismo. As propriedades matemáticas dos números complexos tornam mais fácil e elegante o trabalho nestas áreas.

·        A teoria dos números complexos é essencial para a análise e controlo de processos industriais e sistemas de automação.

·        Processamento de sinais e telecomunicações, os números complexos são usados para representar sinais com informações de fase e amplitude.

·        Computação Gráfica: Os números complexos são usados para gerar gráficos.

·        Engenharia Aeroespacial, são frequentemente empregados para descrever movimentos oscilatórios, estabilidade e outros comportamentos dinâmicos.

Utilização dos complexos em radares (exemplo específico)

Os números complexos são amplamente utilizados nos radares em várias etapas e aspectos do processo de detecção, rastreamento e processamento de sinais. Algumas das principais aplicações dos números complexos em radares incluem:

1. Representação de sinais : A amplitude é representada pelo valor absoluto do número complexo, enquanto a fase é representada pelo argumento do número complexo.
2. Processamento de sinal:realizar operações matemáticas como convolução, filtragem, modulação e desmodulação.
3. Transformada de Fourier: A transformada de Fourier de um sinal discreto é geralmente representada por números complexos, permitindo a extração de informações de fase e magnitude.
4. Doppler Radar: Os radares Doppler utilizam a mudança na frequência de um sinal refletido para medir a velocidade relativa entre o radar e o alvo. A frequência Doppler é uma quantidade complexa,e é usada para determinar tanto a velocidade quanto a direção do movimento do objeto em relação ao radar.
5. Formação de feixes : a utilização de números complexos é fundamental para a implementação de algoritmos de formação de feixes.
6. Representação de alvos e rastreamento: informações de posição e velocidade dos alvos são geralmente representadas usando números complexos.
7. Sistemas de antenas adaptativas:Esses sistemas envolvem o uso de números complexos para ajustar as características da antena e melhorar o desempenho do radar.