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2023年12月6日

18°、36°、54°、72°の三角比

 $18°, 36°, 54°, 72°$の三角比はすべて1つの三角形を出発点として求めることができます。


$18°, 72°$の三角比

AB=AC=1,∠BAC=36°である二等辺三角形
 $\text{AB}=\text{AC}=1, ∠\text{A}=36°$である$△\text{ABC}$を考えます。この二等辺三角形の底角$∠\text{B, }∠\text{C}$の大きさはそれぞれ$\dfrac{180°-36°}{2}=72°$です。
∠Bの二等分線を引く
$∠\text{B}$の二等分線を引き、辺$\text{AC}$との交点を$\text{D}$とすると$△\text{ABD}$と$△\text{BCD}$の2つの三角形ができます。

$△\text{ABD}$に着目すると$∠\text{ABD}=36°, ∠\text{BAD}=36°$より$\text{AD}=\text{BD}$である二等辺三角形であることがわかります。

$△\text{BCD}$に着目すると$∠\text{CBD}=\dfrac{72°}{2}=36°, ∠\text{BCD}=72°$より$∠\text{BDC}=180°-(36°+72°)=72°$なので$\text{BC}=\text{BD}$である二等辺三角形であることがわかり、3組の角がそれぞれ等しいので$△\text{ABC}$と$△\text{BCD}$は相似であることがわかります。

△ABCと△BCDは相似
$\text{BC}=x$とおくと、$\text{BC}=\text{BD}=\text{AD}=x$より$\text{CD}=1-x$となります。
$△\text{ABC}$と$△\text{BCD}$の相似比を考え$x$を求めると
\begin{align*}\text{AB}:\text{BC}&=\text{BC}:\text{CD}\\[0.5em]1:x&=x:1-x\\[0.5em]x^2&=1-x\\[0.5em]x^2+x-1&=0\\[0.5em]x&=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}\\[0.5em]&=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\[0.5em]x&=\frac{\sqrt{5}-1}{2}&(\because x>0)\end{align*}
となります。
頂点Aから底辺へ垂線を引く
ここで、$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}$から辺$\text{BC}$へ垂線を下ろし、その足を$\text{E}$とします。
二等辺三角形の性質より線分$\text{AE}$は辺$\text{BC}$の垂直二等分線でもあるので、$∠\text{AEB}=90°$であり、点$\text{E}$は辺$\text{BC}$の中点であることがわかります。
したがって、
\begin{align*}\text{BE}&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\[0.5em]&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\end{align*}
となります。
△ABEから三角比を求める
 $△\text{ABE}$に着目すると、この三角形は$∠\text{AEB}=90°$である直角三角形で、2つの鋭角の大きさはそれぞれ$∠\text{ABE}=72°$、$∠\text{BAE}=90°-72°=18°$です。
また、三平方の定理より$\text{AE}$の長さを求めると
\begin{align*}\text{AB}^2&=\text{AE}^2+\text{BE}^2\\[0.5em]1^2&=\text{AE}^2+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2\\[0.5em]1&=\text{AE}^2+\frac{6-2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]\text{AE}^2&=1-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]&=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\\[0.5em]\text{AE}&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}&(\because \text{AE}>0)\end{align*}
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
$∠\text{BAE}=18°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin18°&=\frac{\text{BE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}{1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\cos18°&=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\tan18°&=\frac{\text{BE}}{\text{AE}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}-1)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2(10+2\sqrt{5})}}{{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{{10+2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{10+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{5+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{5+\sqrt{5}}\cdot\frac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(30-10\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{20}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{400-160\sqrt{5}}}{20}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\end{align*}
$∠\text{ABE}=72°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin72°&=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos72°&=\frac{\text{BE}}{\text{AB}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[1em]\tan72°&=\frac{\text{AE}}{\text{BE}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6+2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80+32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\end{align*}
となります。

$36°, 54°$の三角比

△ABD
 再び$△\text{ABD}$に着目すると、$∠\text{DAB}=∠\text{DBA}=36°$より$∠\text{ADB}=180°-(36°+36°)=108°$で、$\text{AD}=\text{BD}=\text{BC}$より$\text{AD}=\text{BD}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$です。
△ADFから三角比を求める
この$△\text{ABD}$の頂点$\text{D}$から辺$\text{AB}$へ垂線をおろし、その足を$\text{F}$とします。
二等辺三角形の性質より線分$\text{DF}$は辺$\text{AB}$の垂直二等分線でもあるので$∠\text{AFD}=90°$であり、点$\text{F}$は辺$\text{AB}$の中点であることがわかります。
したがって、$\text{AB}=1$より$\text{AF}=\dfrac{1}{2}$です。
 $△\text{ADF}$に着目すると、この三角形は$∠\text{AFD}=90°$である直角三角形で、2つの鋭角の大きさは$∠\text{DAF}=36°$、$∠\text{ADF}=90°-36°=54°$です。
また、三平方の定理より$\text{DF}$の長さを求めると
\begin{align*}\text{AD}^2&=\text{AF}^2+\text{DF}^2\\[0.5em]\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2&=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\text{DF}^2\\[0.5em]\frac{6-2\sqrt{5}}{4}&=\frac{1}{4}+\text{DF}^2\\[0.5em]\text{DF}^2&=\frac{5-2\sqrt{5}}{4}\\[0.5em]\text{DF}&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2}&(\because \text{DF}>0)\end{align*}
となります。
直角三角形による三角関数の定義に従い、
$∠\text{DAF}=36°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin36°&=\frac{\text{DF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{\text{AF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{1}{2}}{\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[1em]\tan36°&=\frac{\text{DF}}{\text{AF}}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}{\cfrac{\sqrt{5}+1}{4}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(6-2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{80-32\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\end{align*}
$∠\text{ADF}=54°$に着目して三角比を求めると
\begin{align*}\sin54°&=\frac{\text{AF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[1em]\cos54°&=\frac{\text{DF}}{\text{AD}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\tan54°&=\frac{\text{AF}}{\text{DF}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\tan36°}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\cdot\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5-2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{5-2\sqrt{5}}\cdot\frac{5+2\sqrt{5}}{5+2\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(45+20\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}}{5}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\end{align*}
となります。

 $18°, 36°, 54°, 72°$の三角比を改めて以下にまとめます。また、それぞれの近似値も一覧表にしてまとめてみます。
\begin{align*}\sin18°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\cos18°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\tan18°&=\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}\\[1em]\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[0.5em]\tan36°&=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\\[1em]\sin54°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\[0.5em]\cos54°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\tan54°&=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\\[1em]\sin72°&=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]\cos72°&=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\[0.5em]\tan72°&=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\end{align*}

角度 $\sin$ $\cos$ $\tan$
$18°$ $0.30902$ $0.95106$ $0.32492$
$36°$ $0.58779$ $0.80902$ $0.72654$
$54°$ $0.80902$ $0.58779$ $1.3764$
$72°$ $0.95106$ $0.30902$ $3.0777$

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