数学について考えてみる: 公式

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2025年1月6日

座標平面上の点の回転移動

　座標平面上の点$\text{A}$をある点を中心に反時計回りに$φ$だけ回転移動させたとき、移動後の点の座標はどのように表せるでしょうか？

座標平面上の点の平行移動・対称移動

　点が平行移動・対称移動したとき、移動後の座標は以下のようになります。

\begin{array}{l}\large\textbf{点$(a, b)$を}\\ \large\textbf{平行移動}\\ \textbf{x軸方向へ$p$だけ平行移動}&\large(\textcolor{red}{a+p}, b)\\[1em]\hline\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}&\large(a, \textcolor{red}{b+q})\\[1em]\hline\begin{aligned}&\textbf{x軸方向へ$p$}\\ &\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}\end{aligned}&\large(\textcolor{red}{a+p}, \textcolor{blue}{b+q})\\[2em]\hline\large\textbf{対称移動}\\ \textbf{x軸に関して対称移動}&\large(a, \textcolor{red}{-b})\\[1em]\hline\textbf{y軸に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{-a}, b)\\[1em]\hline\textbf{原点に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{-a}, \textcolor{blue}{-b})\\[1em]\hline\textbf{直線$x=p$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{2p-a}, b)\\[1em]\hline\textbf{直線$y=q$に関して対称移動}&\large(a, \textcolor{red}{2q-b})\\[1em]\hline\textbf{点$(p, q)$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{2p-a}, \textcolor{blue}{2q-b})\\[1em]\hline\textbf{直線$y=x$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{b}, \textcolor{blue}{a})\\ \hline\end{array}

なぜこのようになるのかを考えます。

通る2点の座標がわかっている直線の方程式

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　2点$(p_1,p_2),(q_1,q_2)$を通る直線$l$の方程式は

\[\large y=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}(x-p_1)+p_2\]

と表すことができます。

なぜこの式で表すことができるのでしょうか？

通る点の座標と傾きがわかっている直線の方程式

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　点$(p,q)$を通る傾きが$m$の直線$l$の方程式は

\[\large y=m(x-p)+q\]

と表すことができます。

なぜこの式で表すことができるのでしょうか？

座標空間内の2点間の距離

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　座標空間内の2点$\text{A}(x_a,y_a,z_a),\text{B}(x_b,y_b,z_b)$間の距離$\text{AB}$は

\[\large\text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}\]

と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。

座標平面上の2点間の距離

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　座標平面上の2点$\text{A}(x_a,y_a),\text{B}(x_b,y_b)$間の距離$\text{AB}$は

\[\large \text{AB}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\]

と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。

数直線上の2点間の距離

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　2点間の距離とは、2点がどれだけ離れているかを表す$0$以上の値のことで、2点を結ぶ線分の長さのことです。
数直線上に座標が$a,b$である点$\text{A, B}$をとると、2点$\text{A, B}$間の距離$\text{AB}$は

\[\large\text{AB}=|b-a|\ (=|a-b|)\]

と表すことができます。

なぜこのように表すことができるのかを考えてみます。

台形の4辺の長さから面積を求める公式

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　$\text{AB}//\text{CD}$である台形$\text{ABCD}$の4辺の長さがそれぞれ$\text{AB}=a,\text{BC}=b,\text{CD}=c,\text{DA}=d$（ただし、$a>c$）のとき、台形$\text{ABCD}$の面積$S$は

\[\large S=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{\begin{aligned}&(-a+b+c+d)(a-b-c+d)\\ &\quad\cdot(a+b-c+d)(a+b-c-d)\end{aligned}}\]

で求めることができます。（長いので根号内で改行しています。）

なぜこれで台形$\text{ABCD}$の面積が求められるのでしょうか？

平面座標から三角関数の合成の公式を導く

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　三角関数の合成の公式を平面座標を利用して導いてみます。

中間角の三角関数

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　2つの角度$α,β$の中間の角度$\dfrac{α+β}{2}$の三角関数は$α,β$それぞれの三角関数を使ってどのように表すことができるでしょうか？

三角関数半角の公式

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\begin{align*}\sin^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{2}\\[1em]\cos^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1+\cos\theta}{2}\\[1em]\tan^2\frac{\theta}{2}&=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\end{align*}

　これら三角関数の半角の公式は、$\cos$の2倍角の公式

\begin{align*}\cos2\theta&=1-2\sin^2\theta\tag{a}\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag{b}\end{align*}

を利用して導くことができます。

三角関数 2倍角の公式

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\begin{align*}\sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\tag1\\[1em]\cos2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\\[0.5em]&=2\cos^2\theta-1\tag2\\[0.5em]&=1-2\sin^2\theta\\[1em]\tan2\theta&=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag3\end{align*}

　これら三角関数の2倍角の公式は三角関数の加法定理を利用して導くことができます。

三角関数の加法定理

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　三角関数の加法定理とは、任意の角$α,β$について

\begin{align}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[1em]\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\[1em]\tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{align}

が成り立つという定理です。

これらはなぜ成り立つのでしょうか？